Омега-функция Райта - Wright Omega function

Омега-функция Райта вдоль части действительной оси

В математика, то Омега-функция Райта или же Функция Райта,^{[примечание 1]} обозначается ω, определяется в терминах W функция Ламберта в качестве:

${displaystyle omega (z)=W_{{ig lceil }{frac {mathrm {Im} (z)-pi }{2pi }}{ig ceil }}(e^{z}).}$

Использует

Одно из основных применений этой функции - разрешение уравнения z = ln (z), так как единственное решение дает z = е^{−ω (π я)}.

у = ω (z) - единственное решение, когда ${displaystyle zeq xpm ipi }$ за Икс ≤ −1, уравнения у + ln (у) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта непрерывный, четное аналитический.

Характеристики

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению ${displaystyle W_{k}(z)=omega (ln(z)+2pi ik)}$.

Он также удовлетворяет дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {domega }{dz}}={frac {omega }{1+omega }}}$

везде, где ω является аналитическим (как можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстанавливая уравнение ${displaystyle ln(omega )+omega =z}$), и, как следствие, его интеграл можно выразить как:

${displaystyle int w^{n},dz={egin{cases}{frac {omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{frac {omega ^{n}}{n}}&{mbox{if }}neq -1,ln(omega )-{frac {1}{omega }}&{mbox{if }}n=-1.end{cases}}}$

Его Серия Тейлор вокруг точки ${displaystyle a=omega _{a}+ln(omega _{a})}$ принимает форму:

${displaystyle omega (z)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {q_{n}(omega _{a})}{(1+omega _{a})^{2n-1}}}{frac {(z-a)^{n}}{n!}}}$

куда

${displaystyle q_{n}(w)=sum _{k=0}^{n-1}{igg langle }!!{igg langle }{egin{matrix}n+1kend{matrix}}{igg angle }!!{igg angle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

в котором

${displaystyle {igg langle }!!{igg langle }{egin{matrix}nkend{matrix}}{igg angle }!!{igg angle }}$

второго порядка Число Эйлера.

Значения

${displaystyle {egin{array}{lll}omega (0)&=W_{0}(1)&approx 0.56714omega (1)&=1&omega (-1pm ipi )&=-1&omega (-{frac {1}{3}}+ln left({frac {1}{3}}ight)+ipi )&=-{frac {1}{3}}&omega (-{frac {1}{3}}+ln left({frac {1}{3}}ight)-ipi )&=W_{-1}left(-{frac {1}{3}}e^{-{frac {1}{3}}}ight)&approx -2.237147028end{array}}}$

Сюжеты

• Графики омега-функции Райта на комплексной плоскости
• 

  z = Re (ω (Икс + я у))

• 

  z = Im (ω (Икс + я у))

• 

  ω (Икс + я у)

Примечания

1. Не путать с Функция Фокса – Райта, также известная как функция Райта.

Рекомендации

• «О функции Райта ω», Роберт Корлесс и Дэвид Джеффри