Конвергенция Вейсмана - Wijsman convergence

Конвергенция Вейсмана это вариант Сходимость Хаусдорфа подходит для работы с неограниченные множества Интуитивно, сходимость Вейсмана означает сходимость в Метрика Хаусдорфа в качестве поточечная сходимость должен равномерное схождение.

История

Сходимость определялась формулой Роберт Вейсман.^[1]Это же определение использовалось ранее Зденек Фролик.^[2]Еще раньше Хаусдорф в своей книге Grundzüge der Mengenlehre определил так называемый закрытые лимиты;за собственные метрические пространства это то же самое, что и конвергенция Вейсмана.

Определение

Позволять (Икс, d) - метрическое пространство, и пусть Cl (Икс) обозначают совокупность всех d-замкнутые подмножества Икс. Для точки Икс ∈ Икс и набор А ∈ Cl (Икс), набор

${\displaystyle d(x,A)=\inf _{a\in A}d(x,a).}$

Последовательность (или сеть ) наборов А_я ∈ Cl (Икс) называется Конвергент Вийсмана к А ∈ Cl (Икс) если для каждого Икс ∈ Икс,

${\displaystyle d(x,A_{i})\to d(x,A).}$

Сходимость Вейсмана индуцирует топология на Cl (Икс), известный как Топология Вийсмана.

Характеристики

• Топология Вейсмана очень сильно зависит от метрики d. Даже если две метрики одинаково эквивалентны, они могут создавать разные топологии Вейсмана.
• Теорема Бера: если (Икс, d) это полный, отделяемый метрическое пространство, то Cl (Икс) с топологией Вейсмана является Польское пространство, т.е. сепарабельно и метризуемо с полной метрикой.
• Cl (Икс) с топологией Вейсмана всегда Тихоновское пространство. Более того, есть Теорема Леви-Лечицкого: (Икс, d) отделима если и только если Cl (Икс) либо метризуемо, исчисляемый первым или же счетный.
• Если поточечную сходимость сходимости Вейсмана заменить равномерной сходимостью (равномерно по Икс), то получаем сходимость по Хаусдорфу, где метрика Хаусдорфа задается формулой

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\sup _{x\in X}{\big |}d(x,A)-d(x,B){\big |}.}$

Топологии Хаусдорфа и Вейсмана на Cl (Икс) совпадают тогда и только тогда, когда (Икс, d) это полностью ограниченное пространство.

Смотрите также

• Расстояние Хаусдорфа
• Конвергенция Куратовского
• Топология Виеториса
• Геминепрерывность

Рекомендации

Примечания

1. Вейсман, Роберт А. (1966). «Сходимость последовательностей выпуклых множеств, конусов и функций. II». Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 123 (1): 32–45. Дои:10.2307/1994611. JSTOR  1994611. МИСТЕР0196599
2. З. Фролик, О топологической сходимости множеств, Czechskovak Math. J. 10 (1960), 168–180

Библиография

• Пиво, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах. Математика и ее приложения 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. С. xii + 340. ISBN  0-7923-2531-1. МИСТЕР1269778
• Пиво, Джеральд (1994). «Конвергенция Вейсмана: обзор». Установленный Анал. 2 (1–2): 77–94. Дои:10.1007 / BF01027094. МИСТЕР1285822

внешняя ссылка

• Сом Наимпалли (2001) [1994], «Конвергенция Вейсмана», Энциклопедия математики, EMS Press