Неравенство Вейля - Weyls inequality

В математике есть как минимум два результата, известные как Неравенство Вейля.

Неравенство Вейля в теории чисел

В теория чисел, Неравенство Вейля, названный в честь Герман Вейль, утверждает, что если M, N, а и q целые числа, с а и q совмещать, q > 0 и ж это настоящий многочлен степени k чей ведущий коэффициент c удовлетворяет

${\displaystyle |c-a/q|\leq tq^{-2},}$

для некоторых т больше или равно 1, то для любого положительного действительного числа ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ надо

${\displaystyle \sum _{x=M}^{M+N}\exp(2\pi if(x))=O\left(N^{1+\varepsilon }\left({t \over q}+{1 \over N}+{t \over N^{k-1}}+{q \over N^{k}}\right)^{2^{1-k}}\right){\text{ as }}N\to \infty .}$

Это неравенство будет полезно только тогда, когда

${\displaystyle q<N^{k},}$

для иначе оценки модуля экспоненциальная сумма с помощью неравенство треугольника в качестве ${\displaystyle \scriptstyle \leq \,N}$ обеспечивает лучшую границу.

Неравенство Вейля в теории матриц

Неравенство Вейля о возмущении

В линейной алгебре Неравенство Вейля это теорема об изменении собственные значения из Эрмитова матрица это возмущено. Его можно использовать для оценки собственных значений возмущенной эрмитовой матрицы.

Позволять ${\displaystyle M=N+R,\,N,}$ и ${\displaystyle R}$ быть п×п Эрмитовы матрицы с соответствующими собственными значениями ${\displaystyle \mu _{i},\,\nu _{i},\,\rho _{i}}$ заказывается следующим образом:

${\displaystyle M:\quad \mu _{1}\geq \cdots \geq \mu _{n},}$

${\displaystyle N:\quad \nu _{1}\geq \cdots \geq \nu _{n},}$

${\displaystyle R:\quad \rho _{1}\geq \cdots \geq \rho _{n}.}$

Тогда имеют место следующие неравенства:

${\displaystyle \nu _{i}+\rho _{n}\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}+\rho _{1},\quad i=1,\dots ,n,}$

и, в более общем плане,

${\displaystyle \nu _{j}+\rho _{k}\leq \mu _{i}\leq \nu _{r}+\rho _{s},\quad j+k-n\geq i\geq r+s-1.}$

В частности, если ${\displaystyle R}$ положительно определен, то заглушка ${\displaystyle \rho _{n}>0}$ в указанные неравенства приводит к

${\displaystyle \mu _{i}>\nu _{i}\quad \forall i=1,\dots ,n.}$

Обратите внимание, что эти собственные значения можно упорядочить, поскольку они действительны (как собственные значения эрмитовых матриц).

Неравенство Вейля между собственными значениями и сингулярными числами

Позволять ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ иметь особые значения ${\displaystyle \sigma _{1}(A)\geq \cdots \geq \sigma _{n}(A)\geq 0}$ и собственные значения упорядочены так, чтобы ${\displaystyle |\lambda _{1}(A)|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}(A)|}$. потом

${\displaystyle |\lambda _{1}(A)\cdots \lambda _{k}(A)|\leq \sigma _{1}(A)\cdots \sigma _{k}(A)}$

За ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, с равенством для ${\displaystyle k=n}$.^[1]

Приложения

Оценка возмущений спектра

Предположим, что у нас есть оценка р в том смысле, что мы знаем, что его спектральная норма (или, действительно, любая согласованная матричная норма) удовлетворяет ${\displaystyle \|R\|_{2}\leq \epsilon }$. Отсюда следует, что все его собственные значения ограничены по модулю величиной ${\displaystyle \epsilon }$. Применяя неравенство Вейля, получаем, что спектры M и N близки в том смысле, что^[2]

${\displaystyle |\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \epsilon \qquad \forall i=1,\ldots ,n.}$

Неравенство Вейля для особых значений

В сингулярные значения {σ_k} квадратной матрицы M являются квадратными корнями из собственных значений М * М (эквивалентно ММ *). Поскольку эрмитовы матрицы подчиняются неравенству Вейля, если взять любую матрицу А то его сингулярные значения будут квадратным корнем из собственных значений В = А * А которая является эрмитовой матрицей. Теперь, поскольку неравенство Вейля выполнено для B, поэтому для сингулярных значений А.^[3]

Этот результат дает оценку возмущения сингулярных значений матрицы А из-за возмущения в А.

Примечания

1. Тогер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон Темы матричного анализа. Кембридж, 1-е издание, 1991 г. с.171.
2. Вейль, Германн. "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung)". Mathematische Annalen 71, вып. 4 (1912): 441-479.
3. Тао, Теренс (13 января 2010 г.). "254A, Примечания 3a: Собственные значения и суммы эрмитовых матриц". Блог Теренса Тао. Получено 25 мая 2015.

Рекомендации

• Матричная теория, Джоэл Н. Франклин (Dover Publications, 1993) ISBN  0-486-41179-6
• "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen", H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441–479