Лемма Ватсона - Watsons lemma

В математике Лемма Ватсона, доказано Г. Н. Уотсон (1918, с. 133), имеет важное применение в теории асимптотическое поведение из интегралы.

Утверждение леммы

Позволять ${\displaystyle 0<T\leq \infty }$ быть исправленным. Предполагать ${\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }\,g(t)}$, куда ${\displaystyle g(t)}$ имеет бесконечное число производных в окрестности ${\displaystyle t=0}$, с ${\displaystyle g(0)\neq 0}$, и ${\displaystyle \lambda >-1}$.

Предположим, кроме того, что

${\displaystyle |\varphi (t)|<Ke^{bt}\ \forall t>0,}$

куда ${\displaystyle K,b}$ не зависят от ${\displaystyle t}$, или это

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$

Тогда верно, что для всех положительных ${\displaystyle x}$ который

${\displaystyle \left|\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|<\infty }$

и что следующие асимптотическая эквивалентность держит:

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}},\ \ (x>0,\ x\rightarrow \infty ).}$

См., Например, Ватсон (1918) для оригинального доказательства или Миллер (2006) для более поздних разработок.

Доказательство

Мы докажем версию леммы Ватсона, которая предполагает, что ${\displaystyle |\varphi (t)|}$ имеет не более чем экспоненциальный рост, поскольку ${\displaystyle t\to \infty }$. Основная идея доказательства состоит в том, что мы приближаем ${\displaystyle g(t)}$ конечным числом членов своего ряда Тейлора. Поскольку производные от ${\displaystyle g}$ предполагается, что они существуют только в окрестности начала координат, мы по существу продолжим удаление хвоста интеграла, применяя Теорема Тейлора с остатком в оставшийся небольшой интервал, затем снова добавив хвостик. На каждом этапе мы будем внимательно оценивать, сколько мы выбрасываем или добавляем. Это доказательство является модификацией доказательства, найденного в Миллер (2006).

Позволять ${\displaystyle 0<T\leq \infty }$ и предположим, что ${\displaystyle \varphi }$ является измеримой функцией вида ${\displaystyle \varphi (t)=t^{\lambda }g(t)}$, куда ${\displaystyle \lambda >-1}$ и ${\displaystyle g}$ имеет бесконечное число непрерывных производных в интервале ${\displaystyle [0,\delta ]}$ для некоторых ${\displaystyle 0<\delta <T}$, и это ${\displaystyle |\varphi (t)|\leq Ke^{bt}}$ для всех ${\displaystyle \delta \leq t\leq T}$, где постоянные ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle b}$ не зависят от ${\displaystyle t}$.

Можно показать, что интеграл конечен при ${\displaystyle x}$ достаточно большой, написав

${\displaystyle (1)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t}$

и оценка каждого термина.

Для первого семестра имеем

${\displaystyle \left|\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{0}^{\delta }e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\leq \int _{0}^{\delta }|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t}$

за ${\displaystyle x\geq 0}$, где последний интеграл конечен в предположении, что ${\displaystyle g}$ непрерывна на интервале ${\displaystyle [0,\delta ]}$ и это ${\displaystyle \lambda >-1}$. Для второго члена мы используем предположение, что ${\displaystyle \varphi }$ экспоненциально ограничен, чтобы увидеть, что для ${\displaystyle x>b}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|&\leq \int _{\delta }^{T}e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{T}e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{\infty }e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&=K\,{\frac {e^{(b-x)\delta }}{x-b}}.\end{aligned}}}$

Тогда конечность исходного интеграла следует из применения неравенства треугольника к ${\displaystyle (1)}$.

Из приведенного выше расчета можно вывести, что

${\displaystyle (2)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)}$

в качестве ${\displaystyle x\to \infty }$.

Обращаясь к Теорема Тейлора с остатком мы знаем, что для каждого целого числа ${\displaystyle N\geq 0}$,

${\displaystyle g(t)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\,t^{n}+{\frac {g^{(N+1)}(t^{*})}{(N+1)!}}\,t^{N+1}}$

за ${\displaystyle 0\leq t\leq \delta }$, куда ${\displaystyle 0\leq t^{*}\leq t}$. Подключив это к первому члену в ${\displaystyle (2)}$ мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}(3)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}t^{\lambda }g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Чтобы ограничить член, содержащий остаток, мы используем предположение, что ${\displaystyle g^{(N+1)}}$ непрерывна на интервале ${\displaystyle [0,\delta ]}$, и, в частности, он там ограничен. Таким образом, мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\right|&\leq \sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&<\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\&=\sup _{t\in [0,\delta ]}\left|g^{(N+1)}(t)\right|\,{\frac {\Gamma (\lambda +N+2)}{x^{\lambda +N+2}}}.\end{aligned}}}$

Здесь мы использовали тот факт, что

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{a}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (a+1)}{x^{a+1}}}}$

если ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle a>-1}$, куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция.

Из приведенного выше расчета мы видим из ${\displaystyle (3)}$ который

${\displaystyle (4)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)}$

в качестве ${\displaystyle x\to \infty }$.

Теперь мы добавим хвосты к каждому интегралу в ${\displaystyle (4)}$. Для каждого ${\displaystyle n}$ у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}$

и покажем, что остальные интегралы экспоненциально малы. Действительно, если мы сделаем замену переменных ${\displaystyle t=s+\delta }$ мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\delta )}\,ds\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,ds\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,ds\end{aligned}}}$

за ${\displaystyle x\geq 1}$, так что

${\displaystyle \int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right){\text{ as }}x\to \infty .}$

Если мы подставим этот последний результат в ${\displaystyle (4)}$ мы находим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right)+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}$

в качестве ${\displaystyle x\to \infty }$. Наконец, подставив это в ${\displaystyle (2)}$ мы заключаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}$

в качестве ${\displaystyle x\to \infty }$.

Поскольку это последнее выражение верно для каждого целого числа ${\displaystyle N\geq 0}$ таким образом мы показали, что

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}}$

в качестве ${\displaystyle x\to \infty }$, где бесконечный ряд интерпретируется как асимптотическое разложение рассматриваемого интеграла.

Пример

Когда ${\displaystyle 0<a<b}$, то конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода имеет интегральное представление

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{xt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}\,\mathrm {d} t,}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция. Замена переменных ${\displaystyle t=1-s}$ помещает это в форму

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\,e^{x}\int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds,}$

которое теперь можно использовать с помощью леммы Ватсона. Принимая ${\displaystyle \lambda =b-a-1}$ и ${\displaystyle g(s)=(1-s)^{a-1}}$, Лемма Ватсона говорит нам, что

${\displaystyle \int _{0}^{1}e^{-xs}(1-s)^{a-1}s^{b-a-1}\,ds\sim \Gamma (b-a)x^{a-b}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0,}$

что позволяет сделать вывод, что

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,b,x)\sim {\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\,x^{a-b}e^{x}\quad {\text{as }}x\to \infty {\text{ with }}x>0.}$

Рекомендации

• Миллер, П. (2006), Прикладной асимптотический анализ, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 467, г. ISBN  978-0-8218-4078-8.
• Уотсон, Г. Н. (1918), «Гармонические функции, связанные с параболическим цилиндром», Труды Лондонского математического общества, 2 (17), стр. 116–148, Дои:10.1112 / плмс / с2-17.1.116.
• Абловиц, М. Дж., Фокас, А. С. (2003). Комплексные переменные: введение и приложения. Издательство Кембриджского университета.