Кривая Вивианиса - Vivianis curve

Кривая Вивиани: пересечение сферы с касательным цилиндром

Голубую часть полусферы можно возвести в квадрат.

В математика, Кривая Вивиани, также известный как Окно Вивиани, это восьмерка в форме Космос изгиб назван в честь итальянского математика Винченцо Вивиани. Это пересечение сфера с цилиндр то есть касательная к сфере и проходит через центр сферы (см. диаграмму). До Вивиани эту кривую изучал Симон де ла Лубер и Жиль де Роберваль.^[1][2]

Проекция кривой Вивиани на плоскость, перпендикулярную линии, проходящей через точку пересечения, и центр сферы - это лемниската Героно.^[3]

В 1692 году Вивиани взялась за задание: вырезать из полусферы (радиус ${\displaystyle r}$) два окна, так что оставшаяся поверхность (полусферы) может быть в квадрате, т.е. квадрат с той же площадью можно построить, используя только циркуль и линейку. Его решение имеет площадь ${\displaystyle 4r^{2}}$ (Смотри ниже).

Уравнения

цилиндр в вертикальном положении.

Чтобы не усложнять доказательство возведения в квадрат,

то сфера имеет уравнение ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;}$

и

то цилиндр в вертикальном положении с уравнением ${\displaystyle \;x^{2}+y^{2}-rx=0\;}$.

Цилиндр имеет радиус ${\displaystyle r/2}$ и касается сферы в точке ${\displaystyle (r,0,0)\ .}$

Свойства кривой

План этажа, фасад и боковой план

План этажа, фасад и боковой план

Устранение ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ соответственно дает:

В ортогональная проекция кривой пересечения на

${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-самолет круг с уравнением ${\displaystyle \;(x-{\tfrac {r}{2}})^{2}+y^{2}=({\tfrac {r}{2}})^{2}\ .}$

${\displaystyle x}$-${\displaystyle z}$-самолет парабола с уравнением ${\displaystyle \;x=-{\tfrac {1}{r}}z^{2}+r\;.}$

${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$-самолет алгебраическая кривая с уравнением ${\displaystyle \;z^{4}+r^{2}(y^{2}-z^{2})=0\;.}$

Параметрическое представление

Для параметрического представления и определения площади

Представляя сферу

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ -\pi \leq \varphi \leq \pi \;,\end{array}}}$

и установка ${\displaystyle \;\varphi =\theta ,\;}$ дает кривую

• ${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ .\end{array}}}$

Несложно проверить, что сферическая кривая удовлетворяет уравнению цилиндра. Но границы допускают только красную часть (см. Диаграмму) кривой Вивиани. Недостающая вторая половина (зеленая) имеет свойство ${\displaystyle \;\color {green}\varphi =-\theta \;.}$

С помощью этого параметрического представления легко доказать утверждение: площадь полусферы (содержащей кривую Вивиани) минус площадь двух окон равна ${\displaystyle 4r^{2}}$:

Рациональное представление Безье

Четверть кривой Вивиани, лежащая в положительном квадранте трехмерного пространства, не может быть точно представлена ​​регулярной кривой Безье любой степени.

Однако он может быть представлен точно трехмерным рациональным сегментом Безье степени 4, и существует бесконечное семейство рациональных контрольных точек Безье, порождающих этот сегмент.

Одно из возможных решений дают следующие пять контрольных точек:

${\displaystyle {\boldsymbol {p0}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p1}}={\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p2}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {2}{3}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p3}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {p4}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Соответствующая рациональная параметризация:

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}{\frac {2\mu ^{2}\left(\mu ^{2}-2\left(2+{\sqrt {2}}\right)\mu +4{\sqrt {2}}+6\right)}{\left(2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2\right)^{2}}}\\{\frac {2(\mu -1)\mu \left((\mu -1)\mu -3{\sqrt {2}}-4\right)}{\left(2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2\right)^{2}}}\\-{\frac {(\mu -1)\left({\sqrt {2}}\mu +{\sqrt {2}}+2\right)}{2(\mu -1)\mu +{\sqrt {2}}+2}}\\\end{array}}\right)\;\mu \in \left[0,1\right]}$

Квадрат

Площадь правой верхней части окна Viviani (см. Диаграмму) можно вычислить с помощью интеграция:

${\displaystyle \iint _{S_{sphere}}r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi =r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\theta }\cos \theta \,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta =r^{2}({\frac {\pi }{2}}-1)\ .}$

Следовательно, общая площадь сферической поверхности, включенная в кривую Вивиани, равна ${\displaystyle 2\pi r^{2}-4r^{2}}$ и

• площадь полусферы (${\displaystyle 2\pi r^{2}}$) минус площадь окна Вивиани составляет ${\displaystyle \;4r^{2}\;}$, площадь квадрата с диаметром сферы, равной длине ребра.

Отношение к другим кривым

• 8-образное возвышение (см. Выше) представляет собой Лемниската Джероно.
• Кривая Вивиани - особая Кривая Клелии. Для кривой Клелии соотношение между углами равно ${\displaystyle \;\varphi =c\;\theta \;.}$

Кривая Вивиани (красная) как пересечение сферы и конуса (розовая)

Вычитая 2 × уравнение цилиндра из уравнения сферы и применяя завершение квадрата приводит к уравнению

${\displaystyle (x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;,}$

который описывает правый круговой конус с его вершиной в${\displaystyle \;(r,0,0)\;}$, двойная точка кривой Вивиани. Следовательно

• Кривую Вивиани можно рассматривать не только как кривую пересечения сферы и цилиндра, но и как

а) пересечение сферы и конуса и при

б) пересечение цилиндра и конуса.

Смотрите также

• Сфера-цилиндр пересечения

Рекомендации

1. Куно Фладт: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven. Springer-Verlag, 2013 г., ISBN  3322853659, 9783322853653, стр. 97.
2. К. Штрубекер: Vorlesungen der Darstellenden Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Геттинген, 1967, стр. 250.
3. Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Дрезденского международного симпозиума архитектуры 2004 г., Маммендорф: Pro Literatur, стр. 73–80..

внешняя ссылка

• Бергер, Марсель: Геометрия. II. Перевод с французского М. Коула и С. Леви. Universitext. Springer-Verlag, Берлин, 1987.
• Бергер, Марсель: Геометрия. I. Перевод с французского М. Коула и С. Леви. Universitext. Springer-Verlag, Берлин, 1987. xiv + 428 с. ISBN  3-540-11658-3
• «Кривая Вивиани», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Кривая Вивиани". MathWorld.