Виета прыгает - Vieta jumping

В теория чисел, Виета прыгает, также известен как корень переворачивание, это метод доказательства. Чаще всего он используется для задач, в которых задается связь между двумя положительными целыми числами, а также доказывается утверждение о ее решениях. Существует несколько методов прыжков Виета, и все они связаны с общей темой: бесконечный спуск путем поиска новых решений уравнения с помощью Формулы Виета.

История

Прыжки Виета - это метод получения новых решений диофантова уравнения на основе известных. Это классический метод теории квадратных диофантовых уравнений. Это привлекло внимание математическая олимпиада задач, так как первая олимпиадная задача для ее решения была предложена в 1988 г. Международная математическая олимпиада и считается самой сложной задачей конкурса:^[1][2]

Позволять а и б натуральные числа такие, что ab + 1 разделяет а² + б². Покажи это ${displaystyle {frac {a^{2}+b^{2}}{ab+1}}}$ это квадрат целого числа.^[3]

Артур Энгель писал о сложности задачи следующее:

Никто из шести членов австралийского проблемного комитета не смог ее решить. Двое из участников были мужем и женой Джордж и Эстер Секерес, как известные решатели проблем, так и создатели проблем. Поскольку это была теоретико-числовая задача, она была разослана четырем наиболее известным австралийским теоретикам чисел. Их попросили поработать над ним шесть часов. Ни один из них не смог решить ее за это время. Проблемный комитет представил его на рассмотрение жюри XXIX IMO, отмеченного двойной звездочкой, что означало сверхсложную задачу, возможно, слишком сложную для постановки. После долгого обсуждения жюри, наконец, набралось смелости выбрать его в качестве последней задачи конкурса. Одиннадцать студентов предложили идеальные решения.

Среди одиннадцати студентов, получивших максимальное количество баллов за решение этой задачи, были Нго Бо Чау, Рави Вакил, Звезделина Станкова, Никучор Дан.^[4] Эмануил Атанасов из Болгарии решил задачу в параграфе и получил специальный приз.^[5]

Стандартные прыжки Виета

Концепция чего-либо стандартный виета прыжки это доказательство от противного, и состоит из следующих трех шагов:^[6]

1. Предположим к противоречию, что существует какое-то решение, которое нарушает данные требования.
2. Возьмем минимальное такое решение согласно некоторому определению минимальности.
3. Покажите, что отсюда следует существование меньшего решения; противоречие.

пример

Проблема № 6 в IMO 1988: Позволять а и б натуральные числа такие, что ab + 1 разделяет а² + б². Докажи это а² + б²/ab + 1 это идеальный квадрат.^[7][8]

1. Исправьте некоторую ценность k это положительное целое число, не являющееся квадратом. Предположим, что существуют натуральные числа (а, б) для которого k = а² + б²/ab + 1.
2. Позволять (А, B) быть натуральными числами, для которых k = А² + B²/AB + 1 и такой, что А + B сводится к минимуму, и не теряя общий смысл предполагать А ≥ B.
3. Фиксация Bзаменить А с переменной Икс уступить Икс² – (кБ)Икс + (B² – k) = 0. Мы знаем, что один из корней этого уравнения равен Икс₁ = А. По стандартным свойствам квадратных уравнений мы знаем, что другой корень удовлетворяет Икс₂ = кБ – А и Икс₂ = B² – k/А.
4. Первое выражение для Икс₂ показывает, что Икс₂ является целым числом, а из второго выражения следует, что Икс₂ ≠ 0 поскольку k не идеальный квадрат. От Икс₂² + B²/Икс₂B + 1 = k > 0 далее следует, что Икс₂ положительное целое число. В заключение, А ≥ B подразумевает, что Икс₂ = B² − k/А < А и поэтому Икс₂ + B < А + B, что противоречит минимальности А + B.

Постоянный спуск Виета в прыжках

Методика постоянный спуск виета прыжки используется, когда мы хотим доказать утверждение относительно константы k имея какое-то отношение к отношениям между а и б. В отличие от стандартного прыжка Виета, постоянный спуск не является доказательством противоречия и состоит из следующих четырех шагов:^[9]

1. Случай равенства доказан, так что можно предположить, что а > б.
2. б и k фиксированы, а выражение, относящееся к а, б, и k преобразуется в квадратичную систему с коэффициентами относительно б и k, один из корней которого а. Другой корень, Икс₂ определяется по формулам Виета.
3. Показано, что для всех (а, б) выше определенного базового случая, 0 < Икс₂ < б < а и это Икс₂ целое число. Таким образом, мы можем заменить (а, б) с участием (б, Икс₂) и повторяем этот процесс, пока не дойдем до базового варианта.
4. Утверждение доказано для базового случая, и поскольку k остается постоянным в течение этого процесса, этого достаточно, чтобы доказать утверждение для всех упорядоченных пар.

пример

Позволять а и б натуральные числа такие, что ab разделяет а² + б² + 1. Докажи это 3ab = а² + б² + 1.^[10]

1. Если а = б, а² должен разделить 2а² + 1 и поэтому а = б = 1 и 3(1)(1) = 1² + 1² + 1. Итак, без ограничения общности, предположим, что а > б.
2. Позволять k = а² + б² + 1/ab и переставить и заменить, чтобы получить Икс² − (kb) Икс + (б² + 1) = 0. Один корень этой квадратичной равен а, поэтому по формулам Виета другой корень можно записать следующим образом: Икс₂ = kb − а = б² + 1/а.
3. Первое уравнение показывает, что Икс₂ - целое число, а второе - положительное. Потому что а > б, Икс₂ = б² + 1/а < б так долго как б > 1.
4. Базовый случай, к которому мы пришли, - это случай, когда б = 1. Для этого, чтобы удовлетворить заданному условию, а должен разделить а² + 2, делая а либо 1, либо 2. Первый случай исключается, поскольку а = б. Во втором случае k = а² + б² + 1/ab = 6/2 = 3. Так как k остается неизменным на протяжении всего этого процесса, этого достаточно, чтобы показать, что k всегда будет равно 3.

Геометрическая интерпретация

Прыжки Виета можно описать с помощью точек решетки на гиперболы в первом квадранте.^[1] Вместо этого используется тот же процесс поиска меньших корней, чтобы найти нижние точки решетки на гиперболе, оставаясь при этом в первом квадранте. Порядок действий следующий:

1. Из данного условия получаем уравнение семейства гипербол, которые не меняются переключением Икс и y так, чтобы они были симметричными относительно линии y = Икс.
2. Докажите желаемое утверждение для пересечения гипербол и прямой y = Икс.
3. Предположим, есть некоторая точка решетки (Икс, y) на некоторой гиперболе и без потери общности Икс < y. Тогда по формулам Виета существует соответствующая точка решетки с таким же Икс-координата на другой ветви гиперболы и отражением через y = Икс получается новая точка на исходной ветви гиперболы.
4. Показано, что этот процесс дает более низкие точки на той же ветви и может повторяться до тех пор, пока не возникнет какое-либо условие (например, Икс = 0) Достигнут. Тогда путем подстановки этого условия в уравнение гиперболы желаемое заключение будет доказано.

пример

Этот метод можно применить к проблема № 6 в IMO 1988: Позволять а и б натуральные числа такие, что ab + 1 разделяет а² + б². Докажи это а² + б²/ab + 1 идеальный квадрат.

1. Позволять а² + б²/ab + 1 = q и зафиксируем значение q. потом (а,б) представляет собой точку решетки на гиперболе ЧАС определяется уравнением Икс² + y² − qxy − q = 0.
2. Если Икс = y тогда мы находим Икс = y = q = 1, что тривиально удовлетворяет утверждению.
3. Позволять (Икс, y) быть точкой решетки на ветке ЧАС, и предположим Икс < y так что он находится на более высокой ветке. Применяя формулы Виета, (Икс, qx − y) является точкой решетки на нижней ветви ЧАС. Затем, размышляя (qx − y, Икс) является точкой решетки на исходной ветви. У этой новой точки меньше y-координата и, следовательно, находится ниже исходной точки. Поскольку эта точка находится на верхней ветви, она все еще находится выше y = Икс.
4. Этот процесс можно повторить. Из уравнения ЧАС, этот процесс не может перейти во второй квадрант. Таким образом, этот процесс должен завершиться в Икс = 0 и путем замены q = y² квадрат по мере необходимости.

Смотрите также

• Формулы Виета
• Доказательство от противного
• Бесконечный спуск
• Число Маркова
• Аполлонийская прокладка

Заметки

1. Артур Энгель (1998). Стратегии решения проблем. Springer. п. 127. Дои:10.1007 / b97682. ISBN  978-0-387-98219-9.
2. "Возвращение легенды шестого вопроса". Numberphile. 16 августа 2016 г. - через YouTube.
3. «Международная математическая олимпиада». www.imo-official.org. Получено 29 сентября 2020.
4. «Итоги Международной математической олимпиады 1988 г.». Imo-official.org. Получено 2013-03-03.
5. https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=1586
6. Иминь Гэ (2007). "Метод прыжков виета" (PDF). Математические размышления. 5.
7. «Форум AoPS - одна из моих любимых задач, да!». Artofproblemsolving.com. Получено 2013-03-03.
8. К. С. Браун. «N = (x ^ 2 + y ^ 2) / (1 + xy) - квадрат». MathPages.com. Получено 2016-09-26.
9. "Форум AoPS - Лемуры числа". Artofproblemsolving.com. Получено 2013-03-03.
10. "Форум AoPS - x * y | x ^ 2 + y ^ 2 + 1". Artofproblemsolving.com. 2005-06-07. Получено 2013-03-03.

внешние ссылки

• Виета Прыжки с корнем в Brilliant.org