Оценка (геометрия) - Valuation (geometry)

В геометрия, а оценка - конечно аддитивная функция на совокупности допустимых подмножеств фиксированного множества ${\displaystyle X}$ со значениями в абелевом полугруппа. Например, Мера Лебега является оценкой конечных объединений выпуклых тел (т.е. непустых компактных выпуклых множеств) евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Другими примерами оценок конечных объединений выпуклых тел являются площадь поверхности, средняя ширина и Эйлерова характеристика.

В геометрической обстановке на оценки часто накладываются условия непрерывности (или гладкости), но существуют и чисто дискретные аспекты теории. Фактически концепция оценки берет свое начало в теории расчленения многогранники и в частности Третья проблема Гильберта, которая превратилась в богатую теорию, в значительной степени опирающуюся на передовые инструменты абстрактной алгебры.

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ быть набором и ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ набор допустимых подмножеств ${\displaystyle X}$. Функция ${\displaystyle \phi }$ на ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ со значениями в абелевой полугруппе ${\displaystyle R}$ называется оценка если это удовлетворяет

$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$

в любое время ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle A\cup B}$, и ${\displaystyle A\cap B}$ являются элементами ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Если ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}}}$, то всегда предполагается ${\displaystyle \phi (\emptyset )=0}$.

Примеры

Некоторые общие примеры допустимых множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ непустые компактные выпуклые множества (выпуклые тела) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, компактные выпуклые многогранники в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, выпуклые конусы и гладкие компактные многогранники в гладком многообразии ${\displaystyle X}$.

Позволять ${\displaystyle V}$ - конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, и разреши ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ обозначим множество выпуклых тел в ${\displaystyle V}$.

• В Эйлерова характеристика ${\displaystyle \chi (K)=1}$ это оценка ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$, и он распространяется как оценка на набор конечных объединений выпуклых тел.
• Любой Мера Лебега на ${\displaystyle V}$, ограниченная выпуклыми телами, является оценкой ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$.
• Среди оценок, полученных на основе объема, есть собственные объемы,

$${\displaystyle V_{i}(K)=c_{n,i}\left.{\frac {d^{i}}{dt^{i}}}\right|_{t=0}\operatorname {vol} _{n}(K+tB^{n}),\qquad i=0,1,\ldots ,n,}$$

куда ${\displaystyle c_{n,i}}$ - нормирующая константа и ${\displaystyle B^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ является евклидовым единичным шаром, и в более общем смысле смешанные объемы (некоторые записи фиксируются произвольно).

• Перечислитель точек решетки ${\displaystyle G(P)=|\mathbb {Z} ^{n}\cap P|}$, куда ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ - целочисленная решетка, - оценка на решетчатых многогранниках.
• Карта ${\displaystyle K\mapsto h_{K}}$, куда

$${\displaystyle h_{K}(\xi )=\sup _{x\in K}\xi (x)\qquad {\text{for }}\xi \in V^{*},}$$

это функция поддержки из ${\displaystyle K}$, это оценка ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$.

Расценки на выпуклые тела

Оценка на ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ как говорят инвариант перевода если ${\displaystyle \phi (K+x)=\phi (K)}$ для всех ${\displaystyle x\in V}$ и все выпуклые тела ${\displaystyle K}$.

Позволять ${\displaystyle K,L}$ два выпуклых тела в ${\displaystyle V}$. После выбора евклидова внутреннего продукта их Расстояние Хаусдорфа ${\displaystyle d_{H}(K,L)}$ определяется

$${\displaystyle d_{H}(K,L)=\inf\{\varepsilon >0\colon K\subset L_{\varepsilon }{\text{ and }}L\subset K_{\varepsilon }\},}$$

куда ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ обозначает ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle K}$. Оборудован этой метрикой, ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ является локально компактным пространством.

Пространство непрерывных трансляционно-инвариантных оценок на ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ принимать значения в комплексных числах ${\displaystyle \mathbb {C} }$, обозначается ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$.

Топология на ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ топология равномерной сходимости на компактных подмножествах ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$. Оборудован по норме

$${\displaystyle \|\phi \|=\max\{|\phi (K)|\colon K\subset B\},}$$

куда ${\displaystyle B\subset V}$ - ограниченное подмножество с непустой внутренней частью, ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ это Банахово пространство.

Однородные оценки

Постоянная оценка, инвариантная к трансляциям ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ как говорят ${\displaystyle i}$-однородный если

$${\displaystyle \phi (\lambda K)=\lambda ^{i}\phi (K)}$$

для всех ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V)}$. Подмножество ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(V)}$ из ${\displaystyle i}$-однородные нормирования - векторное подпространство ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$. Макмаллена теорема разложения^[1] утверждает, что

$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)=\bigoplus _{i=0}^{n}\operatorname {Val} _{i}(V),\qquad n=\dim V.}$$

В частности, степень однородной оценки всегда является целым числом между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle n=\operatorname {dim} V}$.

Оценки оцениваются не только по степени однородности, но и по паритету относительно отражения через начало координат, а именно:

$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}=\operatorname {Val} _{i}^{+}\oplus \operatorname {Val} _{i}^{-},}$$

куда ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$ с ${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$ если и только если ${\displaystyle \phi (-K)=\epsilon \phi (K)}$ для всех выпуклых тел ${\displaystyle K}$.Элементы ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}}$ и ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}}$ как говорят четное и странный, соответственно.

Это простой факт, что ${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$ является ${\displaystyle 1}$-мерный и натянутый на эйлерову характеристику ${\displaystyle \chi }$, т.е. состоит из постоянных оценок на ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$.

В 1957 г. Hadwiger^[2] доказал, что ${\displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}$ (куда ${\displaystyle n=\dim V}$) совпадает с ${\displaystyle 1}$-мерное пространство мер Лебега на ${\displaystyle V}$.

Оценка ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (\mathbb {R} ^{n})}$ является просто если ${\displaystyle \phi (K)=0}$ для всех выпуклых тел с ${\displaystyle \dim K<n}$. Шнайдер^[3] в 1996 г. описал все простые оценки на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: они даны

$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} (K)+\int _{S^{n-1}}f(\theta )d\sigma _{K}(\theta ),}$$

куда ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$ - произвольная нечетная функция на единичной сфере ${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$, и ${\displaystyle \sigma _{K}}$ это мера площади поверхности ${\displaystyle K}$. В частности, любая простая оценка - это сумма ${\displaystyle n}$- и ${\displaystyle (n-1)}$-однородная оценка. Это, в свою очередь, означает, что ${\displaystyle i}$-однородная оценка однозначно определяется ее ограничениями на все ${\displaystyle (i+1)}$-мерные подпространства.

Теоремы вложения

Вложение Клейна является линейным вложением ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$, пространство даже ${\displaystyle i}$-однородные нормирования в пространство непрерывных сечений канонического комплексного линейного расслоения над грассманианом ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$ из ${\displaystyle i}$-мерные линейные подпространства ${\displaystyle V}$. Его конструкция основана на характеристике Хадвигера.^[2] из ${\displaystyle n}$-однородные оценки. Если ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$ и ${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V)}$, то ограничение ${\displaystyle \phi |_{E}}$ это элемент ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E)}$, и по теореме Хадвигера это мера Лебега. Следовательно

$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\phi }(E)=\phi |_{E}}$$

определяет непрерывный участок линейного расслоения над ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$ с волокном поверх ${\displaystyle E}$ равно ${\displaystyle 1}$-мерное пространство ${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$ из плотности (Меры Лебега) на ${\displaystyle E}$.

Теорема (Клайн^[4]). Линейная карта ${\displaystyle \operatorname {Kl} \colon \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} (E))}$ инъективно.

Другая инъекция, известная как вложение Шнайдера, существует для нечетных оценок. Он основан на описании простых оценок Шнайдером.^[3] Это линейная инъекция ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$, пространство нечетных ${\displaystyle i}$-однородные нормирования в некоторый фактор пространства непрерывных сечений линейного расслоения над частичным флаговым многообразием коориентированных пар ${\displaystyle (F^{i}\subset E^{i+1})}$. Его определение напоминает вложение Клайна, но более сложное. Подробности можно найти в.^[5]

Вложение Гуди-Вейля является линейной инъекцией ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}}$ в пространство распределений на ${\displaystyle i}$-складчатое произведение ${\displaystyle (n-1)}$-мерная сфера. Это не что иное, как Ядро Шварца естественной поляризации, что любая ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$ допускает, а именно как функционал на ${\displaystyle k}$-складчатое произведение ${\displaystyle C^{2}(S^{n-1})}$, последнее пространство функций, имеющее геометрический смысл разностей опорных функций гладких выпуклых тел. Подробнее см.^[5]

Теорема о неприводимости

Классические теоремы Хадвигера, Шнайдера и МакМаллена дают довольно явное описание оценок, однородных степени ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle n-1}$, и ${\displaystyle n=\operatorname {dim} V}$. Но для степеней ${\displaystyle 1<i<n-1}$ до начала 21 века было известно очень мало. Гипотеза Макмаллена - это утверждение, что оценки

$${\displaystyle \phi _{A}(K)=\operatorname {vol} _{n}(K+A),\qquad A\in {\mathcal {K}}(V),}$$

покрывают плотное подпространство ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$. Гипотеза Макмаллена была подтверждена Алескер в гораздо более сильной форме, которая стала известна как теорема о неприводимости:

Теорема (Алескер^[6]). Для каждого ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, естественное действие ${\displaystyle GL(V)}$ на пространствах ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$ неприводимо.

Здесь действие общая линейная группа ${\displaystyle GL(V)}$ на ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ дан кем-то

$${\displaystyle (g\cdot \phi )(K)=\phi (g^{-1}K).}$$

Доказательство теоремы о неприводимости основано на теоремах вложения предыдущего раздела и Локализация Бейлинсона-Бернштейна.

Гладкие оценки

Оценка ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ называется гладкий если карта ${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$ из ${\displaystyle GL(V)}$ к ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ гладко. Другими словами, ${\displaystyle \phi }$ гладко тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \phi }$ является гладким вектором естественного представления ${\displaystyle GL(V)}$ на ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$. Пространство гладких оценок ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$ плотно в ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$; он снабжен естественной топологией пространства Фреше, более тонкой, чем топология, индуцированная из ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$.

Для любой (комплекснозначной) гладкой функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}$,

$${\displaystyle \phi (K)=\int _{\operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}\operatorname {vol} _{i}(P_{E}K)f(E)dE,}$$

куда ${\displaystyle P_{E}\colon \mathbb {R} ^{n}\to E}$ обозначает ортогональную проекцию, а ${\displaystyle dE}$ - мера Хаара, определяет гладкую четную оценку степени ${\displaystyle i}$. Из теоремы о неприводимости и теоремы Кассельмана-Уоллаха следует, что любое гладкое четное нормирование может быть представлено таким образом. Такое представление иногда называют Формула Крофтона.

Для любого (комплексного) гладкого дифференциальная форма ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$ что инвариантно относительно всех переводов ${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$ и каждое число ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$, интеграция по нормальный цикл определяет плавную оценку:

$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} _{n}(K)+\int _{N(K)}\omega ,\qquad K\in {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

(1)

В комплекте нормальный цикл ${\displaystyle N(K)}$ состоит из внешних единичных нормалей к ${\displaystyle K}$. Из теоремы о неприводимости следует, что каждая гладкая оценка имеет такой вид.

Операции над трансляционно-инвариантными оценками

На подпространстве гладких оценок определено несколько естественных операций ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\subset \operatorname {Val} (V)}$. Самый важный из них - произведение двух гладких оценок. Вместе с откатом и продвижением эта операция распространяется на оценки на многообразиях.

Внешний продукт

Позволять ${\displaystyle V,W}$ - конечномерные вещественные векторные пространства. Существует билинейное отображение, называемое внешним произведением,

$${\displaystyle \boxtimes \colon \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(W)\to \operatorname {Val} (V\times W)}$$

который однозначно характеризуется следующими двумя свойствами:

• она непрерывна относительно обычных топологий на ${\displaystyle \operatorname {Val} }$ и ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }}$.
• если ${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$ и ${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$ куда ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$ и ${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$ - выпуклые тела с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной, а ${\displaystyle \operatorname {vol} _{V}}$ и ${\displaystyle \operatorname {vol} _{W}}$ плотности на ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$, тогда

$${\displaystyle \phi \boxtimes \psi =(\operatorname {vol} _{V}\boxtimes \operatorname {vol} _{W})(\bullet +A\times B).}$$

Товар

Произведение двух гладких оценок ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$ определяется

$${\displaystyle (\phi \cdot \psi )(K)=(\phi \boxtimes \psi )(\Delta (K)),}$$

куда ${\displaystyle \Delta \colon V\to V\times V}$ - диагональное вложение. Продукт представляет собой непрерывную карту

$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V).}$$

Оснащен этим продуктом, ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$ становится коммутативной ассоциативной градуированной алгеброй с эйлеровой характеристикой в ​​качестве мультипликативного тождества.

Двойственность Алескера-Пуанкаре

По теореме Алескера ограничение произведения

$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n}^{\infty }(V)=\operatorname {Dens} (V)}$$

является невырожденным спариванием. Это мотивирует определение ${\displaystyle k}$-однородный обобщенная оценка, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)}$, так как ${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V)}$, топологизированный слабой топологией. По двойственности Алескера-Пуанкаре существует естественное плотное включение ${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)}$.

Свертка

Свертка - натуральный продукт на ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*})}$. Для простоты зафиксируем плотность ${\displaystyle \operatorname {vol} }$ на ${\displaystyle V}$ чтобы упростить второй фактор. Определить для фиксированного ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}(V)}$ с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной

$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)\ast \operatorname {vol} (\bullet +B)=\operatorname {vol} (\bullet +A+B).}$$

Тогда существует уникальное продолжение по непрерывности карты

$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V),}$$

называется сверткой. В отличие от продукта, свертка учитывает совместную градуировку, а именно, если ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V)}$, ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V)}$, тогда ${\displaystyle \phi \ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\infty }(V)}$.

Например, пусть ${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$ обозначим смешанный объем выпуклых тел ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Если выпуклые тела ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной фиксированы, то ${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],A_{1},\dots ,A_{n-i})}$определяет плавную оценку степени ${\displaystyle i}$. Свертка двух таких оценок есть

$${\displaystyle V(\bullet [i],A_{1},\dots ,A_{n-i})\ast V(\bullet [j],B_{1},\dots ,B_{n-j})=c_{i,j}V(\bullet [n-j-i],A_{1},\dots ,A_{n-i},B_{1},\dots ,B_{n-j}),}$$

куда ${\displaystyle c_{i,j}}$ константа, зависящая только от ${\displaystyle i,j,n}$.

преобразование Фурье

Преобразование Алескера-Фурье является естественным, ${\displaystyle GL(V)}$-эквивариантный изоморфизм комплекснозначных оценок

$${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$

открытый Алескером и обладающий многими свойствами, напоминающими классическое преобразование Фурье, что и объясняет его название.

Это меняет порядок оценок, а именно ${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V)}$, и переплетает произведение и свертку:

$${\displaystyle \mathbb {F} (\phi \cdot \psi )=\mathbb {F} \phi \ast \mathbb {F} \psi .}$$

Фиксируем для простоты евклидову структуру для идентификации ${\displaystyle V=V^{*}}$, ${\displaystyle \operatorname {Dens} (V)=\mathbb {C} }$, у нас есть личность

$${\displaystyle \mathbb {F} ^{2}\phi (K)=\phi (-K).}$$

О четных оценках существует простое описание преобразования Фурье в терминах вложения Клейна: ${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp })}$. В частности, даже действительные оценки остаются действительными после преобразования Фурье.

Для нечетных оценок описание преобразования Фурье значительно сложнее. В отличие от четного случая, он уже не носит чисто геометрического характера. Например, не сохраняется пространство действительных нечетных оценок.

Откат и вперед

Учитывая линейную карту ${\displaystyle f:U\to V}$, есть индуцированные операции отката ${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$ и двигаться вперед ${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}\to \operatorname {Val} (V)\otimes \operatorname {Dens} (V)^{*}}$. Откат является более простым из двух: ${\displaystyle f^{*}\phi (K)=\phi (f(K))}$. Очевидно, что он сохраняет паритет и степень однородности оценки. Обратите внимание, что откат не сохраняет плавности при ${\displaystyle f}$ не является инъективным.

Формально определить дальнейшие действия труднее. Для простоты зафиксируем меры Лебега на ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$. Прогресс можно однозначно охарактеризовать, описав его действие на оценки в форме ${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)}$, для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U)}$, а затем расширен по непрерывности на все нормирования с помощью теоремы о неприводимости. Для сюръективного отображения ${\displaystyle f}$,

$${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)=\operatorname {vol} (\bullet +f(A)).}$$

Для включения ${\displaystyle f:U\hookrightarrow V}$, выберите разделение ${\displaystyle V=U\oplus W}$. потом

$${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)(K)=\int _{W}\operatorname {vol} (K\cap (U+w)+A)dw.}$$

Неформально, прямое движение вперед двойственно откату относительно пары Алескера-Пуанкаре: для ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ и ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}}$,

$${\displaystyle \langle f^{*}\phi ,\psi \rangle =\langle \phi ,f_{*}\psi \rangle .}$$

Однако это тождество должно быть тщательно интерпретировано, так как спаривание корректно определено только для гладких оценок. Подробнее см.^[7]

Расценки на многообразиях

В серии статей, начатой ​​в 2006 г., Алескер заложил основы теории оценок на многообразиях, которая расширяет теорию оценок на выпуклых телах. Ключевое наблюдение, ведущее к этому расширению, заключается в том, что через интегрирование по нормальному циклу (1) гладкая трансляционно-инвариантная оценка может быть оценена на множествах, более общих, чем выпуклые. Также (1) предлагает определить гладкие оценки в целом, отказавшись от требования, чтобы форма ${\displaystyle \omega }$ быть трансляционно-инвариантной и заменой трансляционно-инвариантной меры Лебега произвольной гладкой мерой.

Позволять ${\displaystyle X}$ - n-мерное гладкое многообразие и пусть ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$ расслоение ко-сфер ${\displaystyle X}$, т.е. ориентированная проективизация кокасательного расслоения. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ обозначим набор компактных дифференцируемых многогранников в ${\displaystyle X}$. Нормальный цикл ${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$ из ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X)}$, который состоит из внешних ко-нормалей к ${\displaystyle A}$, естественно является липшицевым подмногообразием размерности ${\displaystyle n-1}$.

В дальнейшем для простоты изложения мы предполагаем, что ${\displaystyle X}$ ориентирован, хотя понятие гладких оценок фактически не зависит от ориентируемости. Пространство гладких оценок ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ на ${\displaystyle X}$ состоит из функций ${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$ формы

$${\displaystyle \phi (A)=\int _{A}\mu +\int _{N(A)}\omega ,\qquad A\in {\mathcal {P}}(X),}$$

куда ${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(X)}$ и ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {P} _{X})}$ может быть произвольным. Алескер показал, что гладкие нормирования на открытых подмножествах ${\displaystyle X}$ сформировать мягкий пучок над ${\displaystyle X}$.

Примеры

Ниже приведены примеры гладких оценок на гладком многообразии. ${\displaystyle X}$:

• Гладкие меры на ${\displaystyle X}$.
• В Эйлерова характеристика; это следует из работы Черн^[8] на Теорема Гаусса-Бонне, где такие ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \omega }$ были построены для представления характеристики Эйлера. Особенно, ${\displaystyle \mu }$ тогда Интегральная функция Черна-Гаусса-Бонне, который является пфаффианом тензора римановой кривизны.
• Если ${\displaystyle X}$ риманова, то оценки Липшица-Киллинга или внутренние объемы ${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$ - гладкие оценки. Если ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{m}}$ есть ли изометрическое погружение в евклидово пространство, то ${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$ куда ${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$ обозначает обычные собственные объемы на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ (определение отката см. ниже). Существование этих оценок составляет суть формулы трубки Вейля.^[9]
• Позволять ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ быть сложное проективное пространство, и разреши ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$ обозначим грассманиан всех комплексных проективных подпространств фиксированной размерности ${\displaystyle k}$. Функция

$${\displaystyle \phi (A)=\int _{\mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}\chi (A\cap E)dE,\qquad A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {C} P^{n}),}$$

где интегрирование ведется по вероятностной мере Хаара на ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$, это плавная оценка. Это следует из работы Фу.^[10]

Фильтрация

Космос ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ не допускает естественной градуировки в целом, но имеет каноническую фильтрацию

$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)=W_{0}\supset W_{1}\supset \cdots \supset W_{n}.}$$

Здесь ${\displaystyle W_{n}}$ состоит из гладких мер на ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle W_{j}}$ дается формами ${\displaystyle \omega }$ в идеале, порожденном ${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X)}$, куда ${\displaystyle \pi :\mathbb {P} _{X}\to X}$ - каноническая проекция.

Связанное градуированное векторное пространство ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}W_{i}/W_{i+1}}$ канонически изоморфно пространству гладких сечений

$${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}C^{\infty }(X,\operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)),}$$

куда ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$ обозначает векторное расслоение над ${\displaystyle X}$ такой, что слой над точкой ${\displaystyle x\in X}$ является ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X)}$, пространство ${\displaystyle i}$-однородные гладкие трансляционно-инвариантные нормирования на касательном пространстве ${\displaystyle T_{x}X}$.

Товар

Космос ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ допускает натуральный продукт. Это произведение непрерывно, коммутативно, ассоциативно, совместимо с фильтрацией:

$${\displaystyle W_{i}\cdot W_{j}\subset W_{i+j},}$$

и имеет эйлерову характеристику как единичный элемент. Он также коммутирует с ограничением на вложенные подмногообразия, а группа диффеоморфизмов ${\displaystyle X}$ действует на ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$ автоморфизмами алгебры.

Например, если ${\displaystyle X}$ риманова, оценки Липшица-Киллинга удовлетворяют

$${\displaystyle V_{i}^{X}\cdot V_{j}^{X}=V_{i+j}^{X}.}$$

Двойственность Алескера-Пуанкаре все еще сохраняется. Для компактных ${\displaystyle X}$ это говорит, что спаривание ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$ невырожден. Как и в случае инвариантной трансляции, эту двойственность можно использовать для определения обобщенных оценок. В отличие от трансляционно-инвариантного случая, хорошего определения непрерывных оценок для оценок на многообразиях не существует.

Произведение оценок близко отражает геометрическую операцию пересечения подмножеств. Неформально рассматривать обобщенную оценку ${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet )}$. Продукт предоставлен ${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi _{B}=\chi _{A\cap B}}$. Теперь можно получить гладкие оценки, усредняя обобщенные оценки вида ${\displaystyle \chi _{A}}$, точнее ${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$ является гладкой оценкой, если ${\displaystyle S}$ является достаточно большим мерным семейством диффеоморфизмов. Тогда есть

$${\displaystyle \int _{S}\chi _{s(A)}ds\cdot \int _{S'}\chi _{s'(B)}ds'=\int _{S\times S'}\chi _{s(A)\cap s'(B)}dsds',}$$

видеть.^[11]

Откат и вперед

Каждое плавное погружение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ гладких многообразий индуцирует обратное отображение ${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$. Если ${\displaystyle f}$ вложение, то

$${\displaystyle (f^{*}\phi )(A)=\phi (f(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(X).}$$

Обратный образ представляет собой морфизм фильтрованных алгебр. Каждая гладкая собственная субмерсия ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ определяет прямую карту ${\displaystyle f^{*}\colon {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$ к

$${\displaystyle (f_{*}\phi )(A)=\phi (f^{-1}(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(Y).}$$

Pushforward также совместим с фильтрацией: ${\displaystyle f_{*}:W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim Y)}(Y)}$.Для общих гладких отображений можно определить откат и прямой ход для обобщенных оценок при некоторых ограничениях.

Приложения в интегральной геометрии

Позволять ${\displaystyle M}$ риманово многообразие и пусть ${\displaystyle G}$ - группа Ли изометрий ${\displaystyle M}$ действуя транзитивно на расслоении сфер ${\displaystyle SM}$. В этих предположениях пространство ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$ из ${\displaystyle G}$-инвариантные гладкие нормирования на ${\displaystyle M}$ конечномерна; позволять ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{m}}$ быть основой. Позволять ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$ быть дифференцируемыми многогранниками в ${\displaystyle M}$. Тогда интегралы вида ${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$ выражаются как линейные комбинации ${\displaystyle \phi _{k}(A)\phi _{l}(B)}$ с коэффициентами ${\displaystyle c_{i}^{kl}}$ независим от ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg=\sum _{k,l=1}^{m}c_{i}^{kl}\phi _{k}(A)\phi _{l}(B),\qquad A,B\in {\mathcal {P}}(M).}$$

(2)

Формулы этого типа называются кинематические формулы. Их существование в этой общности доказал Фу.^[10] Для трех односвязных форм реального пространства, то есть сферы, евклидова пространства и гиперболического пространства, они возвращаются к Blaschke, Сантало, Черн, и Федерер.

Явное описание кинематических формул обычно является сложной задачей. Фактически уже на этапе перехода от реальных пространственных форм к сложным возникают значительные трудности, которые только недавно были разрешены Бернигом, Фу и Соланесом.^[12][13]Ключевой вывод, ответственный за этот прогресс, заключается в том, что кинематические формулы содержат ту же информацию, что и алгебра инвариантных оценок. ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$. Для точного утверждения пусть

$${\displaystyle k_{G}\colon {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$$

- кинематический оператор, т. е. отображение, определяемое кинематическими формулами (2). Позволять

$${\displaystyle \operatorname {pd} \colon {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$$

обозначают двойственность Алескера-Пуанкаре, которая является линейным изоморфизмом. Наконец позвольте ${\displaystyle m_{G}^{*}}$ быть сопряженным к карте продукта

$${\displaystyle m_{G}\colon {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$

Основная теорема алгебраической интегральной геометрии, связывающая операции над оценками с интегральной геометрией, утверждает, что если двойственность Пуанкаре используется для идентификации ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$ с ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$, тогда ${\displaystyle k_{G}=m_{G}^{*}}$:

.

Смотрите также

• Смешанный объем
• Теорема Хадвигера
• Интегральная геометрия

Рекомендации

1. П. Макмаллен, Непрерывные трансляционно-инвариантные нормирования на пространстве выпуклых компактных множеств, Arch. Математика. (Базель) 34 (1980), нет. 4, 377-384
2. Х. Хадвигер, Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Springer-Verlag, Берлин-Геттинген-Гейдельберг, 1957 г.
3. Р. Шнайдер, Простые оценки на выпуклых телах, Математика 43 (1996), нет. 1, 32-39.
4. Д. А. Клайн, Краткое доказательство характеризационной теоремы Хадвигера// Математика, 42 (1995), вып. 2, 329-339.
5. С. Алескер, Введение в теорию оценок. Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Опубликовано для Совета конференций по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия; Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд, 2018.
6. С. Алескер, Описание трансляционно-инвариантных нормирований на выпуклых множествах с решением гипотезы П. Макмаллена. Геом. Функц. Анальный. 11 (2001), нет. 2, 244–272.
7. С. Алескер, Преобразование типа Фурье о трансляционно-инвариантных нормированиях на выпуклых множествах. Israel J. Math. 181 (2011), 189–294
8. SS. Черн, Об интегральной кривизне в римановом многообразии.Анна. математики. (2) 46 (1945), 674–684.
9. Х. Вейль, Об объеме трубок. Амер. J. Math. 61 (1939), нет. 2, 461–472
10. Дж. Х. Г. Фу, Кинематические формулы в интегральной геометрии. Indiana Univ. Математика. Дж. 39 (1990), нет. 4, 1115-1154
11. Дж. Х. Г. Фу, Теория пересечений и произведение Алескера. Indiana Univ. Математика. Дж. 65 (2016), нет. 4, 1347–1371.
12. А. Берниг, Дж. Х. Г. Фу, Г. Соланес, Интегральная геометрия сложных пространственных форм. Геом. Функц. Анальный. 24 (2014), нет. 2, 403–492.
13. А. Берниг, Дж. Х. Г. Фу, Эрмитова интегральная геометрия. Анна. математики. (2) 173 (2011), нет. 2, 907–945.

Библиография

• С. Алескер (2018). Введение в теорию оценок. Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN  978-1-4704-4359-7.
• С. Алескер; Дж. Х. Г. Фу (2014). Интегральная геометрия и оценки. Курсы повышения квалификации по математике. CRM Барселона. Birkhäuser / Springer, Базель. ISBN  978-1-4704-4359-7.
• Д. А. Клайн; Г.-К. Рота (1997). Введение в геометрическую вероятность. Lezioni Lincee. [Лекции Линчеи]. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59362-X.
• Р. Шнайдер (2014). Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского. Энциклопедия математики и ее приложений, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN  978-1-107-60101-7.