Теорема Удаваса - Uzawas theorem

Теорема Удзавы, также известный как теорема устойчивого роста, является теоремой в теория экономического роста относительно формы, которая технологические изменения может принять Солоу – Лебедь и Рэмси – Касс – Купманс модели роста. Впервые это доказал японский экономист. Хирофуми Удзава.^[1]

Одна общая версия теоремы состоит из двух частей.^[2][3] Первая гласит, что при нормальных допущениях моделей Солоу и неоклассической модели, если (через некоторое время T) капитал, инвестиции, потребление и выпуск увеличиваются с постоянной экспоненциальной скоростью, эти темпы должны быть эквивалентными. Основываясь на этом результате, вторая часть утверждает, что в рамках такой сбалансированной траектории роста производственная функция, ${\displaystyle Y={\tilde {F}}({\tilde {A}},K,L)}$ (куда ${\displaystyle A}$ это технология, ${\displaystyle K}$ капитал, и ${\displaystyle L}$ труд), можно переписать так, чтобы технологические изменения влияли на выпуск исключительно как скаляр на труд (т. е. ${\displaystyle Y=F(K,AL)}$) свойство, известное как родовой или же Харрод-нейтральный технологические изменения.

Теорема Удзавы демонстрирует существенное ограничение широко используемых неоклассических моделей и моделей Солоу. Применение предположения о сбалансированном росте в рамках таких моделей требует, чтобы технологические изменения увеличивали трудозатраты. Напротив, любая производственная функция, для которой невозможно представить влияние технологии в виде скаляра на рабочую силу, не может обеспечить сбалансированный путь роста.^[2]

Заявление

На этой странице точка над переменной будет обозначать ее производную по времени (т.е. ${\displaystyle {\dot {X}}(t)\equiv {dX(t) \over dt}}$). Кроме того, скорость роста переменной ${\displaystyle X(t)}$ будет обозначаться ${\displaystyle g_{X}\equiv {\frac {{\dot {X}}(t)}{X(t)}}}$.

Теорема Удзавы

(Следующая версия находится в Acemoglu (2009) и адаптирована из Schlicht (2006))

Модель с совокупной производственной функцией ${\displaystyle Y(t)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(t),K(t),L(t))}$, куда ${\displaystyle {\tilde {F}}:\mathbb {R} _{+}^{2}\times {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} _{+}}$ и ${\displaystyle {\tilde {A}}(t)\in {\mathcal {A}}}$ представляет технологию во время t (где ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ произвольное подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ для некоторого натурального числа ${\displaystyle N}$). Предположить, что ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ демонстрирует постоянную отдачу от масштаба в ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$. Рост капитала в момент времени t определяется выражением

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=Y(t)-C(t)-\delta K(t)}$

куда ${\displaystyle \delta }$ - норма амортизации и ${\displaystyle C(t)}$ потребление в момент времени t.

Предположим, что население растет с постоянной скоростью, ${\displaystyle L(t)=\exp(nt)L(0)}$, и что существует какое-то время ${\displaystyle T<\infty }$ такой, что для всех ${\displaystyle t\geq T}$, ${\displaystyle {\dot {Y}}(t)/Y(t)=g_{Y}>0}$, ${\displaystyle {\dot {K}}(t)/K(t)=g_{K}>0}$, и ${\displaystyle {\dot {C}}(t)/C(t)=g_{C}>0}$. потом

1. ${\displaystyle g_{Y}=g_{K}=g_{C}}$; и

2. Для любого ${\displaystyle t\geq T}$ , существует функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} _{+}^{2}\to \mathbb {R} _{+}}$ который является однородным степени 1 в своих двух аргументах, так что совокупную производственную функцию можно представить как ${\displaystyle Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))}$, куда ${\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} _{+}}$ и ${\displaystyle g\equiv {\dot {A}}(t)/A(t)=g_{Y}-n}$.

Эскиз доказательства

Лемма 1.

Для любой постоянной ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle g_{X^{\alpha }Y}=\alpha g_{X}+g_{Y}}$.

Доказательство: Обратите внимание на это для любого ${\displaystyle Z(t)}$, ${\displaystyle g_{Z}={\frac {{\dot {Z}}(t)}{Z(t)}}={\frac {d\ln Z(t)}{dt}}}$. Следовательно,${\displaystyle g_{X^{\alpha }Y}={\frac {d}{dt}}\ln[(X(t))^{\alpha }Y(t)]=\alpha {\frac {d\ln X(t)}{dt}}+{\frac {d\ln Y(t)}{dt}}=\alpha g_{X}+g_{Y}}$.

Доказательство теоремы

Сначала покажем, что темпы роста инвестиций ${\displaystyle I(t)=Y(t)-C(t)}$ должен равняться темпам роста капитала ${\displaystyle K(t)}$ (т.е. ${\displaystyle g_{I}=g_{K}}$)

Ограниченность ресурсов во времени ${\displaystyle t}$ подразумевает

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=I(t)-\delta K(t)}$

По определению ${\displaystyle g_{K}}$, ${\displaystyle {\dot {K}}(t)=g_{K}K(t)}$ для всех ${\displaystyle t\geq T}$ . Следовательно, из предыдущего уравнения следует

${\displaystyle g_{K}+\delta ={\frac {I(t)}{K(t)}}}$

для всех ${\displaystyle t\geq T}$. Левая часть является константой, а правая возрастает при ${\displaystyle g_{I}-g_{K}}$ (по лемме 1). Следовательно, ${\displaystyle 0=g_{I}-g_{K}}$ и поэтому

${\displaystyle g_{I}=g_{K}}$.

Из национальный доход с учетом закрытой экономики, конечные товары в экономике должны быть либо потреблены, либо инвестированы, таким образом, для всех ${\displaystyle t}$

${\displaystyle Y(t)=C(t)+I(t)}$

Дифференцирование по времени дает

${\displaystyle {\dot {Y}}(t)={\dot {C}}(t)+{\dot {I}}(t)}$

Разделив обе стороны на ${\displaystyle Y(t)}$ дает

${\displaystyle {\frac {{\dot {Y}}(t)}{Y(t)}}={\frac {{\dot {C}}(t)}{Y(t)}}+{\frac {{\dot {I}}(t)}{Y(t)}}={\frac {{\dot {C}}(t)}{C(t)}}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+{\frac {{\dot {I}}(t)}{I(t)}}{\frac {I(t)}{Y(t)}}}$

${\displaystyle \Rightarrow g_{Y}=g_{C}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}{\frac {I(t)}{Y(t)}}=g_{C}{\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}(1-{\frac {C(t)}{Y(t)}})=(g_{C}-g_{I}){\frac {C(t)}{Y(t)}}+g_{I}}$

С ${\displaystyle g_{Y},g_{C}}$ и ${\displaystyle g_{I}}$ константы, ${\displaystyle {\frac {C(t)}{Y(t)}}}$ является константой. Следовательно, скорость роста ${\displaystyle {\frac {C(t)}{Y(t)}}}$ равно нулю. По лемме 1 отсюда следует, что

${\displaystyle g_{c}-g_{Y}=0}$

По аналогии, ${\displaystyle g_{Y}=g_{I}}$. Следовательно, ${\displaystyle g_{Y}=g_{C}=g_{K}}$.

Далее мы покажем, что для любого ${\displaystyle t\geq T}$, производственная функция может быть представлена ​​как технология, увеличивающая трудозатраты.

Производственная функция во времени ${\displaystyle T}$ является

${\displaystyle Y(T)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(T),L(T))}$

Постоянная вернуться к масштабу собственность производства (${\displaystyle {\tilde {F}}}$ является однородный первой степени в ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$) следует, что для любого ${\displaystyle t\geq T}$, умножая обе части предыдущего уравнения на ${\displaystyle {\frac {Y(t)}{Y(T)}}}$ дает

${\displaystyle Y(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}}={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}},L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle {\frac {Y(t)}{Y(T)}}={\frac {K(t)}{K(T)}}}$ потому что ${\displaystyle g_{Y}=g_{K}}$(Ссылаться на решение дифференциальных уравнений для доказательства этого шага). Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle Y(t)={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})}$

Для любого ${\displaystyle t\geq T}$, определять

${\displaystyle A(t)\equiv {\frac {Y(t)}{L(t)}}{\frac {L(T)}{Y(T)}}}$

и

${\displaystyle F(K(t),A(t)L(t))\equiv {\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(t)A(t))}$

Объединение двух уравнений дает

${\displaystyle F(K(t),A(t)L(t))={\tilde {F}}({\tilde {A}}(T),K(t),L(T){\frac {Y(t)}{Y(T)}})=Y(t)}$ для любого ${\displaystyle t\geq T}$.

По конструкции, ${\displaystyle F(K,AL)}$ это также однородный первой степени в его двух аргументах.

Более того, по лемме 1 скорость роста ${\displaystyle A(t)}$ дан кем-то

${\displaystyle {\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}={\frac {{\dot {Y}}(t)}{Y(t)}}-{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}=g_{Y}-n}$. ${\displaystyle \blacksquare }$

Рекомендации

1. Удзава, Хирофуми (лето 1961 г.). «Нейтральные изобретения и устойчивость равновесия роста». Обзор экономических исследований. 28 (2): 117–124. Дои:10.2307/2295709. JSTOR  2295709.
2. Джонс, Чарльз I; Скримджер, Дин (2008). «Новое доказательство теоремы о стационарном росте Удзавы». Обзор экономики и статистики. 90 (1): 180–182. Дои:10.1162 / отдых.90.1.180. S2CID  57568437.
3. Аджемоглу, Дарон (2009). Введение в современный экономический рост. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр.60 -61. ISBN  978-0-691-13292-1.