Гипотеза уникальных игр - Unique games conjecture

Нерешенная проблема в информатике: Верна ли гипотеза уникальных игр? (больше нерешенных проблем в информатике)

В теория сложности вычислений, то догадка уникальных игр (часто упоминается как UGC) - это предположение, сделанное Субхаш Хот в 2002.^[1][2][3] Гипотеза постулирует, что задача определения приближенного ценить определенного типа игры, известной как уникальная игра, имеет NP-жесткий вычислительная сложность. Он имеет широкое применение в теории твердость приближения. Если гипотеза уникальных игр верна и п ≠ НП^[4], то для многих важных задач не только невозможно получить точное решение в полиномиальное время (как постулируется Проблема P против NP ), но также невозможно получить хорошее полиномиальное приближение. Проблемы, для которых будет справедлив такой результат о приближаемости, включают: проблемы удовлетворения ограничений, которые возникают в самых разных дисциплинах.

Гипотеза необычна тем, что академический мир, кажется, поровну разделился по вопросу о том, верна она или нет.^[1]

Составы

Гипотезу об уникальных играх можно сформулировать несколькими эквивалентными способами.

Уникальная крышка этикетки

Следующая формулировка гипотезы уникальных игр часто используется в твердость приближения. Гипотеза постулирует NP-твердость из следующих проблема обещания известный как крышка этикетки с уникальными ограничениями. Для каждого ребра цвета двух вершин ограничены некоторыми конкретными упорядоченными парами. Уникальный Ограничения означают, что для каждого ребра ни одна из упорядоченных пар не имеет одинакового цвета для одного и того же узла.

Это означает, что экземпляр покрытия этикетки с уникальными ограничениями по алфавиту размера k можно представить как ориентированный граф вместе с коллекцией перестановки π_е: [k] → [k], по одному на каждую кромку е графа. Присвоение экземпляру обложки метки дает каждой вершине грамм значение в наборе [k] = {1, 2, ... k}, часто называемые «цветами».

• 

  Экземпляр уникальной этикеточной обложки. 4 вершины могут иметь красный, синий и зеленый цвета, удовлетворяя ограничения на каждом крае.

• 

  Решение уникального экземпляра крышки этикетки.

Такие экземпляры сильно ограничены в том смысле, что цвет вершины однозначно определяет цвета ее соседей и, следовательно, всей связной компоненты. Таким образом, если входной экземпляр допускает допустимое назначение, то такое назначение можно эффективно найти, перебирая все цвета одного узла. В частности, проблема определения того, допускает ли данный экземпляр удовлетворительное задание, может быть решена за полиномиальное время.

• 

  Экземпляр уникальной обложки этикетки, не позволяющей выполнить удовлетворительное назначение.

• 

  Назначение, удовлетворяющее всем кромкам, кроме толстой кромки. Таким образом, этот экземпляр имеет значение 3/4.

В ценить уникального экземпляра обложки метки - это часть ограничений, которые могут быть выполнены при любом назначении. Для удовлетворительных случаев это значение равно 1, и его легко найти. С другой стороны, кажется, очень сложно определить ценность неудовлетворительной игры даже приблизительно. Гипотеза уникальных игр формализует эту трудность.

Более формально (c, s) проблема покрытия метки зазора с уникальными ограничениями - это следующая проблема обещания (L_да, L_нет):

• L_да = {грамм: Некоторое задание удовлетворяет по крайней мере c-доля ограничений в грамм}
• L_нет = {грамм: Каждое задание удовлетворяет не более s-доля ограничений в грамм}

куда грамм является примером проблемы покрытия этикетки с уникальными ограничениями.

Гипотеза уникальных игр утверждает, что для любой достаточно малой пары констант ε, δ > 0 существует постоянная k такой, что (1 -δ, ε) проблема покрытия метки пробела с уникальными ограничениями по алфавиту размера k является NP-жесткий.

Вместо графиков проблему покрытия этикеток можно сформулировать в терминах линейных уравнений. Например, предположим, что у нас есть система линейных уравнений над целыми числами по модулю 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv 2\cdot x_{2}{\pmod {7}},\\x_{2}&\equiv 4\cdot x_{5}{\pmod {7}},\\&{}\ \ \vdots \\x_{1}&\equiv 2\cdot x_{7}{\pmod {7}}.\end{aligned}}}$

Это пример проблемы покрытия этикетки с уникальными ограничениями. Например, первое уравнение соответствует перестановке π_{(1, 2)} куда π_(1, 2)(Икс₁) = 2Икс₂ по модулю 7.

Системы двух доказательств

А уникальная игра это частный случай двухпроверочная игра в один раунд (2P1R). В однораундовой игре с двумя доказывающими участвуют два игрока (также известные как доказывающие) и судья. Судья отправляет каждому игроку вопрос, взятый из известного распределение вероятностей, и каждый игрок должен послать ответ. Ответы приходят из набора фиксированного размера. Игра определяется предикатом, который зависит от вопросов, отправленных игрокам, и предоставленных ими ответов.

Игроки могут заранее выбрать стратегию, хотя они не могут общаться друг с другом во время игры. Игроки выигрывают, если предикат удовлетворяется их вопросами и их ответами.

Однораундовая игра с двумя доказывающими называется уникальная игра если на каждый вопрос и каждый ответ первого игрока есть ровно один ответ второго игрока, который приводит к выигрышу для игроков, и наоборот. В ценить игры - это максимальная вероятность выигрыша для игроков по всем стратегиям.

В догадка уникальных игр утверждает, что для каждой достаточно малой пары констант ε, δ > 0 существует постоянная k так что следующие проблема обещания (L_да, L_нет) является NP-жесткий:

• L_да = {грамм: значение грамм не меньше 1 - δ}
• L_нет = {грамм: значение грамм не больше ε}

куда грамм это уникальная игра, ответы на которую исходят из множестваk.

Вероятностно проверяемые доказательства

В качестве альтернативы гипотеза уникальных игр постулирует существование определенного типа вероятностно проверяемое доказательство для проблем в НП.

Уникальную игру можно рассматривать как особый вид неадаптивного вероятностно проверяемого доказательства со сложностью запроса 2, где для каждой пары возможных запросов проверяющего и каждого возможного ответа на первый запрос существует ровно один возможный ответ на второй запрос, который заставляет верификатор принять, и наоборот.

Гипотеза уникальных игр утверждает, что для любой достаточно малой пары констант ε, δ > 0 существует постоянная K так что каждая проблема в НП имеет вероятностно проверяемое доказательство по алфавиту размера K с полнотой 1 -δ, надежность ε и сложность случайности O (log (п)), которая является уникальной игрой.

Актуальность

Результаты аппроксимируемости в предположении, что P ≠ NP по сравнению с UGC

Проблема	Poly.-time ок.	Твердость NP	Твердость UG
Макс 2-сб	0.940...[5]	0,954 ... + ε[6]	0,9439 ... + ε[7]
Максимальный разрез	0.878...[8]	0,941 ... + ε[6]	0,878 ... + ε[7]
Мин. Крышка вершины	2	1,360 ... - ε[9]	2-ε[10]
Близость	1/3	47/48[11]	1/3 + ε[12]

Некоторые очень естественные, по сути интересные утверждения о таких вещах, как голосование и пена, только что выскочили из изучения пользовательского контента ... Даже если пользовательский контент окажется ложным, он вдохновил на множество интересных математических исследований.

— Райан О’Доннелл, ^[1]

Гипотеза уникальных игр была введена Субхаш Хот в 2002 г., чтобы продвинуться по некоторым вопросам теории твердость приближения.

Истинность гипотезы об уникальных играх подразумевает оптимальность многих известных аппроксимационные алгоритмы (при условии п ≠ НП). Например, коэффициент аппроксимации, достигаемый алгоритм Гоэманса и Вильямсона для приближения максимальный разрез в график оптимальна с точностью до любой аддитивной константы в предположении гипотезы об уникальных играх и п ≠ НП.

Список результатов, которые, как известно, следует из гипотезы об уникальных играх, показан в соседней таблице вместе с соответствующими наилучшими результатами для более слабого предположения P ≠ NP. Константа c + ε или c - ε означает, что результат верен для любого постоянный (по размеру задачи) строго больше или меньше c, соответственно.

Обсуждение и альтернативы

В настоящее время нет единого мнения относительно истинности гипотезы об уникальных играх. Некоторые более сильные формы гипотезы были опровергнуты.

Другая форма гипотезы постулирует, что отличить случай, когда ценность единственной игры не меньше 1 - δ от случая, когда значение не больше ε, невозможно для полиномиальные алгоритмы (но, возможно, не NP-жесткий). Эта форма гипотезы по-прежнему будет полезна для приложений с трудностями приближения. С другой стороны, как известно, отличить экземпляры со значением не более 3/8 + δ от экземпляров со значением не менее 1/2 NP-сложно.^[13]

Постоянная δ> 0 в приведенных выше формулировках гипотезы необходима, если только п = НП. Если требование уникальности удалено, соответствующее утверждение станет истинным по теорема о параллельном повторении, даже если δ = 0.

Марек Карпински и Уоррен Шади^[14] построены схемы линейной аппроксимации по времени для плотных экземпляров задачи однозначных игр.

В 2008 году Прасад Рагхавендра показал, что если UGC верен, то для каждого проблема удовлетворения ограничений (CSP) наилучший коэффициент аппроксимации определяется некоторым простым полуопределенное программирование (SDP), который, в частности, является полиномиальным[1].

В 2010 году Прасад Рагхавендра и Дэвид Стеурер определили проблему «расширения зазора-небольшого набора» и предположили, что она NP-сложна. Из этой гипотезы следует гипотеза об уникальных играх.^[15] Он также использовался, чтобы доказать свою силу твердость приближения результаты для поиска полные двудольные подграфы.^[16]

В 2010, Санджив Арора, Боаз Барак и Дэвид Стеурер нашли алгоритм субэкспоненциальной аппроксимации по времени для задачи уникальных игр.^[17]

В 2018 году после серии статей была доказана более слабая версия гипотезы, получившая название гипотезы об играх 2–2. В определенном смысле это доказывает «половину» исходной гипотезы. [2],[3].

Примечания

1. Эрика Кларрайх (2011-10-06). «Примерно сложно: гипотеза об уникальных играх». Фонд Саймонса. Получено 2012-10-29.
2. Дик Липтон (05.05.2010). «Уникальные игры: пьеса в трех действиях». Утерянное письмо Гёделя и P = NP. Получено 2012-10-29.
3. Хот, Субхаш (2002), «О силе уникальных игр с двумя доказывающими в один раунд», Труды тридцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений, стр. 767–775, Дои:10.1145/509907.510017, ISBN  1-58113-495-9
4. Гипотеза об уникальных играх пусто верна, если п = НП, как и все проблемы в НП также будет НП-жесткий.
5. Файги, Уриэль; Goemans, Мишель X. (1995), "Приближение ценности двух систем доказательства прувера с приложениями к MAX 2SAT и MAX DICUT", Proc. 3-й Израильский симпозиум. Теория вычислений и систем, IEEE Computer Society Press, стр. 182–189.
6. Хостад, Йохан (1999), «Некоторые результаты оптимальной несовместимости», Журнал ACM, 48 (4): 798–859, Дои:10.1145/502090.502098.
7. Хот, Субхаш; Киндлер, Гай; Моссель, Эльханан; О'Доннелл, Райан (2007), «Оптимальные результаты несовместимости MAX-CUT и других CSP с двумя переменными?» (PDF), SIAM Журнал по вычислениям, 37 (1): 319–357, Дои:10.1137 / S0097539705447372
8. Goemans, Мишель X.; Уильямсон, Дэвид П. (1995), "Улучшенные аппроксимационные алгоритмы для задач максимального разреза и выполнимости с использованием полуопределенного программирования", Журнал ACM, 42 (6): 1115–1145, Дои:10.1145/227683.227684
9. Динур, Ирит; Сафра, Самуэль (2005), «О сложности аппроксимации минимального вершинного покрытия» (PDF), Анналы математики, 162 (1): 439–485, Дои:10.4007 / анналы.2005.162.439, получено 2010-03-05.
10. Хот, Субхаш; Регев, Одед (2003): «Покрытие вершины может быть трудно приблизить с точностью до 2 -ε", Конференция IEEE по вычислительной сложности: 379–
11. Чор, Бенни; Судан, Мадху (1998), "Геометрический подход к промежуточности", Журнал SIAM по дискретной математике, 11 (4): 511–523 (электронный), Дои:10.1137 / S0895480195296221, МИСТЕР  1640920.
12. Чарикар, Моисей; Гурусвами, Венкатесан; Манокаран, Раджекар (2009), «Каждый CSP перестановки арности 3 устойчив к аппроксимации», 24-я ежегодная конференция IEEE по вычислительной сложности, стр. 62–73, Дои:10.1109 / CCC.2009.29, МИСТЕР  2932455.
13. О'Доннелл, Райан; Райт, Джон (2012), «Новая точка NP-сложности для уникальных игр», Материалы Симпозиума ACM по теории вычислений 2012 г. (STOC'12), Нью-Йорк: ACM, стр. 289–306, Дои:10.1145/2213977.2214005, МИСТЕР  2961512.
14. Карпинский, Марек; Шуди, Уоррен (2009), "Схемы линейной аппроксимации времени для игры Гейла – Берлекампа и связанных с ней задач минимизации", Труды сорок первого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений: 313–322, arXiv:0811.3244, Дои:10.1145/1536414.1536458, ISBN  9781605585062
15. Рагхавендра, Прасад; Стерер, Дэвид (2010), «Расширение графа и гипотеза уникальных игр» (PDF), STOC'10 - Материалы Международного симпозиума ACM 2010 г. по теории вычислений, ACM, Нью-Йорк, стр. 755–764, Дои:10.1145/1806689.1806792, МИСТЕР  2743325
16. Manurangsi, Pasin (2017), "Неприблизимость максимальной граничной биклики, максимальной сбалансированной биклики и минимума k-Вырезанный на основе гипотезы о расширении малого множества ", в Хатциджианнакис, Иоаннис; Индик, Петр; Кун, Фабиан; Мушолл, Анка (ред.), 44-й Международный коллоквиум по автоматам, языкам и программированию (ICALP 2017), Международный журнал Лейбница по информатике (LIPIcs), 80, Дагштуль, Германия: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fuer Informatik, стр. 79: 1–79: 14, Дои:10.4230 / LIPIcs.ICALP.2017.79, ISBN  978-3-95977-041-5
17. Арора, Санджив; Варак, Вооз; Steurer, Дэвид (2015), "Субэкспоненциальные алгоритмы для уникальных игр и связанных проблем", Журнал ACM, 62 (5): Ст. 42, 25, Дои:10.1145/2775105, МИСТЕР  3424199. Ранее было объявлено на FOCS 2010.

Рекомендации

• Хот, Субхаш (2010), «Об уникальной гипотезе игр», Proc. 25-я конференция IEEE по вычислительной сложности (PDF), стр. 99–121, Дои:10.1109 / CCC.2010.19.