Унгула - Ungula

В сплошная геометрия, язычок это область, край из твердое тело революции, срезанный плоскостью, наклонной к его основанию.^[1] Распространенным примером является сферический клин. Период, термин язычок относится к копыто из лошадь, анатомическая особенность, определяющая класс млекопитающие называется копытные.

В объем язычка цилиндра рассчитывалась по Грегуар де Сент-Винсент.^[2] Два цилиндра с одинаковыми радиусами и перпендикулярными осями пересекаются в четыре двойных язычка.^[3] В бицилиндр образованный перекрестком, был измерен Архимед в Метод механических теорем, но рукопись была утеряна до 1906 года.

Историк исчисление описал роль копытца в интегральное исчисление:

Сам Грегуар в первую очередь хотел проиллюстрировать ссылкой на язычок эту объемную интеграцию можно уменьшить за счет проток в плоскости, к рассмотрению геометрических соотношений между ложами плоских фигур. В язычок, однако, оказался ценным источником вдохновения для тех, кто последовал за ним и видел в нем средство представления и преобразования интегралов множеством гениальных способов.^[4]:146

Цилиндрический язычок

Унгула правого кругового цилиндра.

Цилиндрический ноготь радиуса основания р и высота час имеет объем

${displaystyle V={2 over 3}r^{2}h}$,^[5].

Общая площадь его поверхности составляет

${displaystyle A={1 over 2}pi r^{2}+{1 over 2}pi r{sqrt {r^{2}+h^{2}}}+2rh}$,

площадь его изогнутой боковой стенки равна

${displaystyle A_{s}=2rh}$,

а площадь его вершины (наклонная крыша) равна

${displaystyle A_{t}={1 over 2}pi r{sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$.

Доказательство

Рассмотрим цилиндр ${displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ограниченный снизу плоскостью ${displaystyle z=0}$ и выше на самолете ${displaystyle z=ky}$ где k уклон скатной крыши:

${displaystyle k={h over r}}$.

Нарезка объема на кусочки параллельно y-оси, то дифференциальный срез, имеющий форму треугольной призмы, имеет объем

${displaystyle A(x),dx}$

где

${displaystyle A(x)={1 over 2}{sqrt {r^{2}-x^{2}}}cdot k{sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 over 2}k(r^{2}-x^{2})}$

площадь прямоугольного треугольника, вершины которого равны, ${displaystyle (x,0,0)}$, ${displaystyle (x,{sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)}$, и ${displaystyle (x,{sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{sqrt {r^{2}-x^{2}}})}$, основание и высота которого тем самым ${displaystyle {sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ и ${displaystyle k{sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$соответственно, тогда объем всей цилиндрической ногтевой кости равен

${displaystyle V=int _{-r}^{r}A(x),dx=int _{-r}^{r}{1 over 2}k(r^{2}-x^{2}),dx}$

${displaystyle qquad ={1 over 2}k{Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{Big [}{1 over 3}x^{3}{Big ]}_{-r}^{r}{Big )}={1 over 2}k(2r^{3}-{2 over 3}r^{3})={2 over 3}kr^{3}}$

что равно

${displaystyle V={2 over 3}r^{2}h}$

после замены ${displaystyle rk=h}$.

Дифференциальная площадь поверхности изогнутой боковой стенки равна

${displaystyle dA_{s}=kr(sin heta )cdot r,d heta =kr^{2}(sin heta ),d heta }$,

какая область принадлежит почти плоскому прямоугольнику, ограниченному вершинами ${displaystyle (rcos heta ,rsin heta ,0)}$, ${displaystyle (rcos heta ,rsin heta ,krsin heta )}$, ${displaystyle (rcos( heta +d heta ),rsin( heta +d heta ),0)}$, и ${displaystyle (rcos( heta +d heta ),rsin( heta +d heta ),krsin( heta +d heta ))}$, ширина и высота которого ${displaystyle r,d heta }$ и (достаточно близко к) ${displaystyle krsin heta }$соответственно, тогда площадь поверхности стены равна

${displaystyle A_{s}=int _{0}^{pi }dA_{s}=int _{0}^{pi }kr^{2}(sin heta ),d heta =kr^{2}int _{0}^{pi }sin heta ,d heta }$

где интеграл дает ${displaystyle -[cos heta ]_{0}^{pi }=-[-1-1]=2}$, так что площадь стены

${displaystyle A_{s}=2kr^{2}}$,

и заменяя ${displaystyle rk=h}$ дает

${displaystyle A_{s}=2rh}$.

Основание цилиндрической ногтевой кости имеет площадь полукруга радиуса. р: ${displaystyle {1 over 2}pi r^{2}}$, а скошенная вершина указанного язычка представляет собой полуэллипс с малой полуосью длиной р и большая полуось длины ${displaystyle r{sqrt {1+k^{2}}}}$, так что его площадь

${displaystyle A_{t}={1 over 2}pi rcdot r{sqrt {1+k^{2}}}={1 over 2}pi r{sqrt {r^{2}+(kr)^{2}}}}$

и заменяя ${displaystyle kr=h}$ дает

${displaystyle A_{t}={1 over 2}pi r{sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$. ∎

Обратите внимание, как площадь поверхности боковой стенки связана с объемом: такая площадь поверхности ${displaystyle 2kr^{2}}$, умножая его на ${displaystyle dr}$ дает объем дифференциала полу-оболочка, интеграл которой равен ${displaystyle {2 over 3}kr^{3}}$, громкость.

Когда наклон k равно 1, то такой язычок составляет ровно одну восьмую бицилиндр, объем которого ${displaystyle {16 over 3}r^{3}}$. Одна восьмая этого ${displaystyle {2 over 3}r^{3}}$.

Конический язычок

Унгула правого кругового конуса.

Конический язычок высоты час, базовый радиус р, и уклон верхней плоской поверхности k (если полукруглое основание находится внизу, на плоскости z = 0) имеет объем

${displaystyle V={r^{3}kHI over 6}}$

где

${displaystyle H={1 over {1 over h}-{1 over rk}}}$

- высота конуса, из которого вырезали ноготь, и

${displaystyle I=int _{0}^{pi }{2H+krsin heta over (H+krsin heta )^{2}}sin heta ,d heta }$.

Площадь изогнутой боковой стенки составляет

${displaystyle A_{s}={kr^{2}{sqrt {r^{2}+H^{2}}} over 2}I}$.

В качестве проверки согласованности рассмотрим, что происходит, когда высота конуса стремится к бесконечности, так что конус становится цилиндром в пределе:

${displaystyle lim _{Hightarrow infty }{Big (}I-{4 over H}{Big )}=lim _{Hightarrow infty }{Big (}{2H over H^{2}}int _{0}^{pi }sin heta ,d heta -{4 over H}{Big )}=0}$

так что

${displaystyle lim _{Hightarrow infty }V={r^{3}kH over 6}cdot {4 over H}={2 over 3}kr^{3}}$,

${displaystyle lim _{Hightarrow infty }A_{s}={kr^{2}H over 2}cdot {4 over H}=2kr^{2}}$, и

${displaystyle lim _{Hightarrow infty }A_{t}={1 over 2}pi r^{2}{{sqrt {1+k^{2}}} over 1+0}={1 over 2}pi r^{2}{sqrt {1+k^{2}}}={1 over 2}pi r{sqrt {r^{2}+(rk)^{2}}}}$,

что согласуется с цилиндрическим случаем.

Доказательство

Пусть конус описывается

${displaystyle 1-{ho over r}={z over H}}$

где р и ЧАС константы и z и ρ переменные, с

${displaystyle ho ={sqrt {x^{2}+y^{2}}},qquad 0leq ho leq r}$

и

${displaystyle x=ho cos heta ,qquad y=ho sin heta }$.

Пусть конус рассечен плоскостью

${displaystyle z=ky=kho sin heta }$.

Подставляя это z в уравнение конуса и решив для ρ дает

${displaystyle ho _{0}={1 over {1 over r}+{ksin heta over H}}}$

что для данного значения θ - радиальная координата точки, общей для плоскости и конуса, наиболее удаленной от оси конуса по углу θ от Икс-ось. Цилиндрическая координата высоты этой точки равна

${displaystyle z_{0}=H{Big (}1-{ho _{0} over r}{Big )}}$.

Итак, по направлению угла θ, поперечное сечение конической ногтевой кости имеет вид треугольника

${displaystyle (0,0,0)-(ho _{0}cos heta ,ho _{0}sin heta ,z_{0})-(rcos heta ,rsin heta ,0)}$.

Поворачивая этот треугольник на угол ${displaystyle d heta }$ о z-axis дает еще один треугольник с ${displaystyle heta +d heta }$, ${displaystyle ho _{1}}$, ${displaystyle z_{1}}$ заменен на ${displaystyle heta }$, ${displaystyle ho _{0}}$, и ${displaystyle z_{0}}$ соответственно, где ${displaystyle ho _{1}}$ и ${displaystyle z_{1}}$ являются функциями ${displaystyle heta +d heta }$ вместо того ${displaystyle heta }$. поскольку ${displaystyle d heta }$ бесконечно мала, тогда ${displaystyle ho _{1}}$ и ${displaystyle z_{1}}$ также бесконечно мало отличаются от ${displaystyle ho _{0}}$ и ${displaystyle z_{0}}$, поэтому для целей рассмотрения объема дифференциальной трапециевидной пирамиды их можно считать равными.

Дифференциальная трапециевидная пирамида имеет трапециевидное основание с длиной у основания (конуса) ${displaystyle rd heta }$, длина в верхней части ${displaystyle {Big (}{H-z_{0} over H}{Big )}rd heta }$, и высота ${displaystyle {z_{0} over H}{sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$, поэтому трапеция имеет площадь

${displaystyle A_{T}={r,d heta +{Big (}{H-z_{0} over H}{Big )}r,d heta over 2}{z_{0} over H}{sqrt {r^{2}+H^{2}}}=r,d heta {(2H-z_{0})z_{0} over 2H^{2}}{sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Высота от трапецеидального основания до точки ${displaystyle (0,0,0)}$ имеет длину, дифференциально близкую к

${displaystyle {rH over {sqrt {r^{2}+H^{2}}}}}$.

(Это высота одного из боковых треугольников трапециевидной пирамиды.) Объем пирамиды равен одной трети площади основания, умноженной на ее высотную длину, поэтому объем конического язычка является интегральным соотношением:

${displaystyle V=int _{0}^{pi }{1 over 3}{rH over {sqrt {r^{2}+H^{2}}}}{(2H-z_{0})z_{0} over 2H^{2}}{sqrt {r^{2}+H^{2}}}r,d heta =int _{0}^{pi }{1 over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} over 2H}d heta ={r^{2}k over 6H}int _{0}^{pi }(2H-ky_{0})y_{0},d heta }$

где

${displaystyle y_{0}=ho _{0}sin heta ={sin heta over {1 over r}+{ksin heta over H}}={1 over {1 over rsin heta }+{k over H}}}$

Подставляя правую часть в интеграл и выполняя некоторые алгебраические манипуляции, получаем формулу объема, которую необходимо доказать.

Для боковины:

${displaystyle A_{s}=int _{0}^{pi }A_{T}=int _{0}^{pi }{(2H-z_{0})z_{0} over 2H^{2}}r{sqrt {r^{2}+H^{2}}},d heta ={kr{sqrt {r^{2}+H^{2}}} over 2H^{2}}int _{0}^{pi }(2H-z_{0})y_{0},d heta }$

а интеграл в правой части упрощается до ${displaystyle H^{2}rI}$. ∎

В качестве проверки согласованности подумайте, что происходит, когда k уходит в бесконечность; тогда конический ноготь должен стать полуконусом.

${displaystyle lim _{kightarrow infty }{Big (}I-{pi over kr}{Big )}=0}$

${displaystyle lim _{kightarrow infty }V={r^{3}kH over 6}cdot {pi over kr}={1 over 2}{Big (}{1 over 3}pi r^{2}H{Big )}}$

что составляет половину объема конуса.

${displaystyle lim _{kightarrow infty }A_{s}={kr^{2}{sqrt {r^{2}+H^{2}}} over 2}cdot {pi over kr}={1 over 2}pi r{sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

что составляет половину площади поверхности изогнутой стенки конуса.

Площадь верхней части

Когда ${displaystyle k=H/r}$, "верхняя часть" (то есть плоская поверхность, которая не является полукруглой, как основание) имеет параболическую форму, а ее площадь поверхности равна

${displaystyle A_{t}={2 over 3}r{sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Когда ${displaystyle k<H/r}$ тогда верхняя часть имеет эллиптическую форму (т.е. меньше половины эллипса), а ее площадь поверхности равна

${displaystyle A_{t}={1 over 2}pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){sqrt {1+k^{2}}}Lambda }$

где

${displaystyle x_{max}={sqrt {{k^{2}r^{4}H^{2}-k^{4}r^{6} over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2}}}}$,

${displaystyle y_{1}={1 over {1 over r}+{k over H}}}$,

${displaystyle y_{m}={kr^{2}H over k^{2}r^{2}-H^{2}}}$,

${displaystyle Lambda ={pi over 4}-{1 over 2}arcsin(1-lambda )-{1 over 4}sin(2arcsin(1-lambda ))}$, и

${displaystyle lambda ={y_{1} over y_{1}-y_{m}}}$.

Когда ${displaystyle k>H/r}$ тогда верхняя часть представляет собой сечение гиперболы, а ее площадь поверхности равна

${displaystyle A_{t}={sqrt {1+k^{2}}}(2Cr-aJ)}$

где

${displaystyle C={y_{1}+y_{2} over 2}=y_{m}}$,

${displaystyle y_{1}}$ как указано выше,

${displaystyle y_{2}={1 over {k over H}-{1 over r}}}$,

${displaystyle a={r over {sqrt {C^{2}-Delta ^{2}}}}}$,

${displaystyle Delta ={y_{2}-y_{1} over 2}}$,

${displaystyle J={r over a}B+{Delta ^{2} over 2}log {Biggr |}{{r over a}+B over {-r over a}+B}{Biggr |}}$,

где логарифм натуральный, и

${displaystyle B={sqrt {Delta ^{2}+{r^{2} over a^{2}}}}}$.

Смотрите также

• Сферический клин

использованная литература

1. Унгула на Webster Dictionary.org
2. Григорий Святого Винсента (1647) Opus Geometricum quadraturae circi et sectionum coni
3. Блез Паскаль Lettre de Dettonville a Carcavi описывает онглет и двойной онглет, ссылка из HathiTrust
4. Маргарет Э. Барон (1969) Истоки исчисления бесконечно малых, Pergamon Press, переиздано в 2014 г. Эльзевир, Предварительный просмотр Google Книг
5. Твердые тела - объемы и поверхности в Engineering Toolbox

• Уильям Фогдес (1861) Элементарный трактат по измерениям и практической геометрии через Google Книги