Ядро перехода - Transition kernel

в математика вероятности, а переходное ядро или же ядро это функция в математике, которая имеет различные приложения. Например, ядра могут использоваться для определения случайные меры или же случайные процессы. Наиболее важным примером ядер являются Марковские ядра.

Определение

Позволять ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ быть двумя измеримые пространства. Функция

${\displaystyle \kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

называется (переходным) ядром из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T}$ тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:^[1]

• Для любых фиксированных ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$отображение

${\displaystyle s\mapsto \kappa (s,B)}$

является измеримый

• За каждый фиксированный ${\displaystyle s\in S}$отображение

${\displaystyle B\mapsto \kappa (s,B)}$

это мера

Классификация переходных ядер

Ядра перехода обычно классифицируются по определяемым ими мерам. Эти меры определены как

${\displaystyle \kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

с

${\displaystyle \kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)}$

для всех ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$ и все ${\displaystyle s\in S}$. В этих обозначениях ядро ${\displaystyle \kappa }$ называется^[1][2]

• а субстохастическое ядро, суб-вероятностное ядро или субмарковское ядро я упал ${\displaystyle \kappa _{s}}$ находятся маловероятные меры
• а Марковское ядро, стохастическое ядро ​​или вероятностное ядро, если все ${\displaystyle \kappa _{s}}$ находятся вероятностные меры
• а конечное ядро я упал ${\displaystyle \kappa _{s}}$ находятся конечные меры
• а ${\displaystyle \sigma }$-конечное ядро я упал ${\displaystyle \kappa _{s}}$ находятся ${\displaystyle \sigma }$-конечные меры
• а s-конечное ядро я упал ${\displaystyle \kappa _{s}}$ находятся s-конечные меры
• а равномерно ${\displaystyle \sigma }$-конечное ядро если существует не более чем счетное число измеримых множеств ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$ в ${\displaystyle T}$ с ${\displaystyle \kappa _{s}(B_{i})<\infty }$ для всех ${\displaystyle s\in S}$ и все ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.

Операции

В этом разделе пусть ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ и ${\displaystyle (U,{\mathcal {U}})}$ измеримые пространства и обозначим произведение σ-алгебры из ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ с ${\displaystyle {\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}}$

Продукт ядер

Определение

Позволять ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ - s-конечное ядро ​​из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ - s-конечное ядро ​​из ${\displaystyle S\times T}$ к ${\displaystyle U}$. Тогда товар ${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}}$ двух ядер определяется как^[3][4]

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)}$

для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}}$.

Свойства и комментарии

Продукт двух ядер - это ядро ​​от ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T\times U}$. Это снова s-конечное ядро ​​и ${\displaystyle \sigma }$-конечное ядро, если ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ и ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ находятся ${\displaystyle \sigma }$-конечные ядра. Продукт ядер также ассоциативный, то есть удовлетворяет

${\displaystyle (\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})}$

для любых трех подходящих s-конечных ядер ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$.

Продукт также хорошо определен, если ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ это ядро ​​из ${\displaystyle T}$ к ${\displaystyle U}$. В данном случае это рассматривается как ядро ​​из ${\displaystyle S\times T}$ к ${\displaystyle U}$ это не зависит от ${\displaystyle S}$. Это эквивалентно установке

${\displaystyle \kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)}$

для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ и все ${\displaystyle s\in S}$.^[4][3]

Состав ядер

Определение

Позволять ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ - s-конечное ядро ​​из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ s-конечное ядро ​​из ${\displaystyle S\times T}$ к ${\displaystyle U}$. Тогда композиция ${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$ двух ядер определяется как^[5][3]

${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)}$

для всех ${\displaystyle s\in S}$ и все ${\displaystyle B\in {\mathcal {U}}}$.

Свойства и комментарии

Состав - ядро ​​из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle U}$ это снова s-конечно. Состав ядер ассоциативный, то есть удовлетворяет

${\displaystyle (\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})}$

для любых трех подходящих s-конечных ядер ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$. Как и продукт ядер, состав также хорошо определен, если ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ это ядро ​​из ${\displaystyle T}$ к ${\displaystyle U}$.

Альтернативное обозначение композиции - ${\displaystyle \kappa ^{1}\kappa ^{2}}$^[3]

Ядра как операторы

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}}$ - множество положительно измеримых функций на ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$.

Каждое ядро ${\displaystyle \kappa }$ из ${\displaystyle S}$ к ${\displaystyle T}$ можно связать с линейный оператор

${\displaystyle A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}}$

данный^[6]

${\displaystyle (A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).}$

Состав этих операторов совместим с составом ядер, то есть^[3]

${\displaystyle A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}}$

Рекомендации

1. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.180. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 30. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
3. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. п. 33. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
4. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.279. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
5. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п.281. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
6. Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Шпрингер. С. 29–30. Дои:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.