Плотное закрытие - Tight closure

В математика, в районе коммутативная алгебра, плотное закрытие это операция, определенная на идеалы в положительном характеристика. Он был представлен Мелвин Хохстер и Крэйг Хунеке (1988, 1990 ).

Позволять ${displaystyle R}$ быть коммутативным нетерианом звенеть содержащий поле характерных ${displaystyle p> 0}$ . Следовательно ${displaystyle p}$ это простое число.

Позволять ${displaystyle I}$ быть идеалом ${displaystyle R}$ . Плотное закрытие ${displaystyle I}$ , обозначаемый ${displaystyle I ^ {*}}$ , это еще один идеал ${displaystyle R}$ содержащий ${displaystyle I}$ . Идеал ${displaystyle I ^ {*}}$ определяется следующим образом.

{displaystyle zin I ^ {*}}

тогда и только тогда, когда существует

{displaystyle cin R}

, куда

{displaystyle c}

не содержится ни в каком минимальном первичном идеале

{displaystyle R}

, так что

{displaystyle cz ^ {p ^ {e}} в I ^ {[p ^ {e}]}}

для всех

{displaystyle egg 0}

. Если

{displaystyle R}

сокращается, то вместо этого можно рассматривать все

{displaystyle e> 0}

.

Здесь ${стиль отображения I ^ {[p ^ {e}]}}$ используется для обозначения идеала ${displaystyle R}$ генерируется ${displaystyle p ^ {e}}$ силы элементов ${displaystyle I}$ , называется ${displaystyle e}$ th Фробениус сила ${displaystyle I}$ .

Идеал называется плотно замкнутым, если ${displaystyle I = I ^ {*}}$ . Кольцо, в котором все идеалы плотно замкнуты, называется слабо ${displaystyle F}$ -регулярный (для Фробениуса регулярный). Предыдущий важный открытый вопрос о плотном закрытии заключается в том, переключается ли операция плотного закрытия с локализация, поэтому есть дополнительное понятие ${displaystyle F}$ -регулярно, что говорит о том, что все идеалы кольца по-прежнему плотно замкнуты в локализациях кольца.

Бреннер и Монски (2010) нашел контрпример к свойству локализации плотного закрытия. Однако остается открытым вопрос о том, каждый ли слабый ${displaystyle F}$ -регулярное кольцо ${displaystyle F}$ -обычный. То есть, если каждый идеал в кольце плотно замкнут, правда ли, что каждый идеал в каждой локализации этого кольца также сильно замкнут?

Плотное закрытие - Tight closure

Рекомендации