Толщина и форма теплового пограничного слоя - Thermal boundary layer thickness and shape

Схематический рисунок, изображающий поток жидкости по нагретой плоской пластине.

На этой странице описаны некоторые параметры, используемые для характеристики свойств тепловой пограничный слой образованный нагретой (или охлажденной) жидкостью, движущейся вдоль нагретой (или охлажденной) стенки. Во многих отношениях описание теплового пограничного слоя аналогично описанию скорость (импульс) пограничный слой описание впервые концептуализировано Людвиг Прандтль.^[1] Рассмотрим жидкость с однородной температурой ${\displaystyle T_{o}}$ и скорость ${\displaystyle u_{o}}$ падение на неподвижную пластину, равномерно нагретую до температуры ${\displaystyle T_{s}}$. Предположим, что поток и пластина полубесконечны в положительном / отрицательном направлении, перпендикулярном оси. ${\displaystyle x-y}$ самолет. Когда жидкость течет вдоль стенки, жидкость на поверхности стенки удовлетворяет условию граничное условие прилипания и имеет нулевую скорость, но по мере удаления от стены скорость потока асимптотически приближается к скорости набегающего потока ${\displaystyle u_{0}}$. Температура у твердой стены ${\displaystyle T_{s}}$ и постепенно меняется на ${\displaystyle T_{o}}$ по мере продвижения к свободному потоку жидкости. Невозможно определить острую точку, в которой жидкость теплового пограничного слоя или жидкость пограничного слоя скорости становится набегающим потоком, но эти слои имеют четко определенную характеристическую толщину, определяемую выражением ${\displaystyle \delta _{T}}$ и ${\displaystyle \delta _{v}}$. Приведенные ниже параметры дают полезное определение этой характеристики, измеряемой толщины теплового пограничного слоя. В это описание пограничного слоя также включены некоторые параметры, полезные для описания формы теплового пограничного слоя.

99% толщина термического пограничного слоя

В толщина теплового пограничного слоя, ${\displaystyle \delta _{T}}$, - расстояние через пограничный слой от стенки до точки, в которой температура потока практически достигла температуры «набегающего потока», ${\displaystyle T_{0}}$. Это расстояние определяется по нормали к стене в ${\displaystyle y}$-направление. Толщина теплового пограничного слоя обычно определяется как точка в пограничном слое, ${\displaystyle y_{99}}$, где температура ${\displaystyle T(x,y)}$ достигает 99% стоимости бесплатного потока ${\displaystyle T_{0}}$:

${\displaystyle \delta _{T}=y_{99}}$ такой, что ${\displaystyle T(x,y_{99})}$ = 0.99 ${\displaystyle T_{0}}$

на позиции ${\displaystyle x}$ вдоль стены. В реальной жидкости это количество можно оценить, измерив профиль температуры в позиции ${\displaystyle x}$ вдоль стены. Температурный профиль - это температура как функция ${\displaystyle y}$ на фиксированном ${\displaystyle x}$ позиция.

За ламинарный поток над плоской пластиной при нулевом падении толщина теплового пограничного слоя определяется как:^[2]

${\displaystyle \delta _{T}=\delta _{v}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

${\displaystyle \delta _{T}=5.0{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\mathrm {Pr} ^{-1/3}}$

куда

${\displaystyle \mathrm {Pr} }$ это Число Прандтля

${\displaystyle \delta _{v}}$ толщина толщина пограничного слоя скорости ^[3]

${\displaystyle u_{0}}$ скорость набегающего потока

${\displaystyle x}$ - расстояние вниз по потоку от начала пограничного слоя

${\displaystyle \nu }$ это кинематическая вязкость

За турбулентный поток над плоской пластиной толщина образующегося теплового пограничного слоя не определяется термической диффузией, а вместо этого случайные колебания во внешней области пограничного слоя жидкости являются движущей силой, определяющей толщину теплового пограничного слоя . Таким образом, толщина теплового пограничного слоя для турбулентного потока не зависит от Число Прандтля но вместо этого на Число Рейнольдса. Следовательно, толщина турбулентного теплового пограничного слоя приблизительно определяется турбулентной скоростью толщина пограничного слоя выражение^[4] предоставлено:

${\displaystyle \delta _{T}\approx \delta \approx 0.37x/{\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}$

куда

${\displaystyle {\mathrm {Re} _{x}}=u_{0}x/\nu }$ это Число Рейнольдса

Эта формула для толщины турбулентного пограничного слоя предполагает, что 1) поток является турбулентным с самого начала пограничного слоя и 2) турбулентный пограничный слой ведет себя геометрически подобным образом (т.е. профили скорости геометрически подобны вдоль потока в направлении x. , отличающиеся только коэффициентами растяжения в ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle u(x,y)}$^[5]). Ни одно из этих предположений не верно для общего случая турбулентного пограничного слоя, поэтому следует соблюдать осторожность при применении этой формулы.

Толщина термического смещения

В толщина теплового вытеснения, ${\displaystyle \beta ^{*}}$ можно рассматривать в терминах разницы между реальной жидкостью и гипотетической жидкостью с отключенной термодиффузией, но со скоростью ${\displaystyle u_{0}}$ и температура ${\displaystyle T_{0}}$. Без термодиффузии падение температуры резкое. Толщина теплового смещения - это расстояние, на которое гипотетическая поверхность жидкости должна была бы переместиться в ${\displaystyle y}$-направление, обеспечивающее такую ​​же интегральную температуру, которая возникает между стенкой и плоскостью отсчета при ${\displaystyle \delta _{T}}$ в реальной жидкости. Это прямой аналог толщины смещения скорости, которая часто описывается в терминах эквивалентного смещения гипотетической невязкой жидкости (см. Schlichting^[6] для толщины смещения скорости).

Определение толщины теплового вытеснения для несжимаемого потока основано на интеграле приведенной температуры:

${\displaystyle {\beta ^{*}}=\int _{0}^{\infty }{\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

где безразмерная температура ${\displaystyle \theta (x,y)=(T(x,y)-T_{0})/(T_{s}-T_{0})}$. В аэродинамическая труба профили скорости и температуры получены путем измерения скорости и температуры на многих дискретных ${\displaystyle y}$-значения при фиксированном ${\displaystyle x}$-позиция. Толщину теплового смещения можно тогда оценить как численно интегрирующий масштабированный температурный профиль.

Метод момента

Относительно новый метод^[7][8] для описания толщины и формы теплового пограничного слоя используется моментный метод обычно используется для описания случайных величин распределение вероятностей. Метод моментов был разработан на основе наблюдения, что график второй производной теплового профиля для ламинарного обтекания пластины очень похож на график. Гауссово распределение изгиб.^[9] Отлить правильно масштабированный тепловой профиль в подходящее интегральное ядро ​​несложно.

Центральные моменты теплового профиля определяются как:

${\displaystyle {\xi _{n}}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{(y-m_{T})^{n}\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

где среднее местоположение, ${\displaystyle m_{T}}$, дан кем-то:

${\displaystyle m_{T}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{y\theta (x,y)\mathrm {d} y}}$

Есть некоторые преимущества, связанные с включением описаний моментов производных профиля пограничного слоя по высоте над стенкой. Рассмотрим центральные моменты профиля температуры первой производной, заданные как:

${\displaystyle {\epsilon _{n}}=\int _{0}^{\infty }{(y-{\beta ^{*}})^{n}{d\theta (x,y) \over dy}\mathrm {d} y}}$

где среднее положение - это толщина термического смещения ${\displaystyle \beta ^{*}}$.

Наконец, центральные моменты профиля температуры второй производной выражаются как:

${\displaystyle {\phi _{n}}=\mu _{T}\int _{0}^{\infty }{(y-{\mu _{T}})^{n}{d^{2}\theta (x,y) \over dy^{2}}\mathrm {d} y}}$

где среднее местоположение, ${\displaystyle \mu _{T}}$, дан кем-то:

${\displaystyle {1 \over \mu _{T}}=-\left({\frac {d\theta (x,y)}{dy}}\right)_{y=0}}$

Определив моменты и среднее тепловое положение, толщину и форму пограничного слоя можно описать в терминах ширины теплового пограничного слоя (отклонение ), тепловая перекосы, и тепловой избыток (избыточный эксцесс ). Для решения Польхаузена для ламинарного потока на нагреваемой плоской пластине^[10] Установлено, что толщина теплового пограничного слоя, определяемая как ${\displaystyle \delta _{T}=m_{T}+4\sigma _{T}}$ куда ${\displaystyle \sigma _{T}=\xi _{2}^{1/2}}$, очень хорошо отслеживает толщину 99%.^[11]

Для ламинарного потока все три разных случая момента дают одинаковые значения толщины теплового пограничного слоя. Для турбулентного потока тепловой пограничный слой можно разделить на область у стенки, где важна тепловая диффузия, и внешнюю область, где эффекты тепловой диффузии в основном отсутствуют. Принимая во внимание уравнение баланса энергии пограничного слоя, моменты второй производной пограничного слоя, ${\displaystyle {\phi _{n}}}$ отслеживать толщину и форму той части теплового пограничного слоя, где температуропроводность ${\displaystyle {\alpha }}$ имеет значение. Следовательно, метод моментов позволяет отслеживать и количественно определять область, где важна температуропроводность, используя ${\displaystyle {\phi _{n}}}$ моменты, тогда как общий тепловой пограничный слой отслеживается с использованием ${\displaystyle {\epsilon _{n}}}$ и ${\displaystyle {\xi _{n}}}$ моменты.

Расчет производных моментов без необходимости брать производные упрощается за счет использования интегрирования по частям для сведения моментов к простым интегралам на основе ядра толщины теплового смещения:

${\displaystyle {k_{n}}=\int _{0}^{\infty }{y^{n}\theta (x,y)\,\mathrm {d} y}}$

Это означает, что асимметрия второй производной, например, может быть рассчитана как:

${\displaystyle \gamma _{T}=\phi _{3}/\phi _{2}^{3/2}=(2\mu _{T}^{3}-6\beta ^{*}\mu _{T}^{2}+6\mu _{T}k_{1})/(-\mu _{T}^{2}+2\mu _{T}\beta ^{*})^{3/2}}$

дальнейшее чтение

• Герман Шлихтинг, Теория пограничного слоя, 7-е изд., McGraw Hill, 1979.
• Фрэнк М. Уайт, Механика жидкости, МакГроу-Хилл, 5-е издание, 2003 г.
• Амир Фагри, Ювен Чжан и Джон Хауэлл, Улучшенный тепло- и массообмен, Global Digital Press, ISBN  978-0-9842760-0-4, 2010.

Примечания

1. Л. Прандтль, «Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung», Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongress in Heidelberg 1904, изд. A. Krazer, Teubner, Leipzig, (1905) 484–491.
2. Schlichting, p. 307.
3. Schlichting, стр.140.
4. Schlichting, p. 638.
5. Schlichting, стр.152.
6. Schlichting, p. 140.
7. Вейберн, 2006.
8. Вейберн, 2018.
9. Weyburne, 2006, стр. 1680 г.
10. Schlichting, p. 292.
11. Weyburne, 2018, стр. 5.

Рекомендации

• Шлихтинг, Герман (1979). Теория пограничного слоя, 7-е изд., Макгроу Хилл, Нью-Йорк, США.
• Вейберн, Дэвид (2006). «Математическое описание жидкого пограничного слоя», Прикладная математика и вычисления, вып. 175, с. 1675–1684
• Вейберн, Дэвид (2018). «Новые параметры толщины и формы для описания теплового пограничного слоя», arXiv: 1704.01120 [Physics.flu-dyn]