Парадокс Банаха – Тарского (книга) - The Banach–Tarski Paradox (book)

Парадокс Банаха – Тарского это книга по математике на Парадокс Банаха – Тарского, тот факт, что единичный шар можно разбить на конечное число подмножеств и собрать вместе, чтобы сформировать два единичных шара. Это было написано Стандартный вагон и опубликована в 1985 г. Издательство Кембриджского университета как том 24 их серии книг Энциклопедия математики и ее приложений.[1][2][3][4][5] Вторая печать в 1986 году добавила две страницы в качестве дополнения, а печать в мягкой обложке 1993 года добавила новое предисловие.[6]В 2016 году издательство Cambridge University Press опубликовало второе издание, добавив в качестве соавтора Гжегожа Томковича в качестве 163 тома той же серии.[7][8] Комитет по списку основных библиотек Математическая ассоциация Америки рекомендовал включить его в библиотеки математики бакалавриата.[8]

Темы

Парадокс Банаха – Тарского, доказанный Стефан Банах и Альфред Тарский в 1924 году заявляет, что можно разделить трехмерное единичный мяч на конечное количество частей и собрать их в два единичных шара, один шар большей или меньшей площади или любой другой ограниченное множество с непустым интерьер. Хотя это математическая теорема, ее называют парадоксом, потому что она настолько противоречит интуиции; в предисловии к книге, Ян Мыцельски называет это самым удивительным результатом в математике. Это тесно связано с теория меры и отсутствие меры на всех подмножествах трехмерного пространства, инвариантной относительно всех совпадения пространства, и теории парадоксальные наборы в бесплатные группы и представление этих групп трехмерные вращения, использованный в доказательстве парадокса. Тема книги - парадокс Банаха – Тарского, его доказательство и многие связанные с ним результаты, которые с тех пор стали известны.[3][5]

Книга разделена на две части: первая посвящена существованию парадоксальных разложений, а вторая - условиям, препятствующим их существованию.[1][7] После двух глав основного материала первая часть доказывает сам парадокс Банаха – Тарского, рассматривает многомерные пространства и неевклидова геометрия, исследует количество частей, необходимых для парадоксального разложения, и находит результаты, аналогичные парадоксу Банаха – Тарского для одномерных и двумерных множеств. Вторая часть включает связанную теорему Тарского о том, что конгруэнтно-инвариантные конечно-аддитивные меры предотвращают существование парадоксальных разложений, теорема о том, что Мера Лебега единственная такая мера на измеримых по Лебегу множествах, материал на приемлемые группы, подключения к аксиома выбора и Теорема Хана – Банаха.[3][7] Три приложения описывают Евклидовы группы, Мера Иордании, и сборник открытых проблем.[1]

Второе издание добавляет материал о нескольких недавних результатах в этой области, во многих случаях вдохновленных первым изданием книги. Тревор Уилсон доказал существование непрерывного движения от узла с одним шаром к узлу с двумя шарами, сохраняя при этом все наборы перегородки непересекающимися; этот вопрос был поставлен де Гроотом в первом издании книги.[7][9] Миклош Лацкович решено Проблема квадрата круга Тарского, прося о вскрытии диск к квадрат той же площади, в 1990 г.[7][8][10] И Эдвард Марчевский спросил в 1930 году, можно ли решить парадокс Банаха-Тарского, используя только Наборы Baire; положительный ответ был найден в 1994 г. Рэндалл Догерти и Мэтью Форман.[8][11]

Аудитория и прием

Книга написана на уровне, доступном для аспирантов-математиков, но содержит обзор исследований в этой области, которые также должны быть полезны для более продвинутых исследователей.[3] Начальные части книги, включая доказательство парадокса Банаха – Тарского, также должны быть доступны для чтения студентам-математикам.[4]

Рецензент Влодзимеж Бзыль пишет, что «эта красивая книга написана с осторожностью и, безусловно, ее стоит прочитать».[2] Рецензент Джон Дж. Уоткинс пишет, что первое издание книги «стало классическим текстом по парадоксальной математике», а второе издание «превосходит все возможные ожидания, которые я мог иметь для расширения книги, которую я уже глубоко ценил».[8]

Рекомендации

  1. ^ а б c Люксембург, W.A.J., "Обзор Парадокс Банаха – Тарского (1-е изд.) ", zbMATH, Zbl  0569.43001
  2. ^ а б Бзыль, Влодзимеж (1987), "Обзор Парадокс Банаха – Тарского (1-е изд.) ", Математические обзоры, МИСТЕР  0803509
  3. ^ а б c d Гарднер, Р. Дж. (Март 1986 г.), "Обзор Парадокс Банаха – Тарского (1-е изд.) ", Бюллетень Лондонского математического общества, 18 (2): 207–208, Дои:10.1112 / blms / 18.2.207
  4. ^ а б Хенсон, К. Уорд (июль – август 1987 г.), Американский ученый, 75 (4): 436, JSTOR  27854763CS1 maint: журнал без названия (связь)
  5. ^ а б Мыцельски, Ян (Август – сентябрь 1987 г.), Американский математический ежемесячный журнал, 94 (7): 698–700, Дои:10.2307/2322243, JSTOR  2322243CS1 maint: журнал без названия (связь)
  6. ^ Форман, Мэтью (Июнь 1995 г.), "Обзор Парадокс Банаха – Тарского (Изд. В мягкой обложке 1993 г.) ", Журнал символической логики, 60 (2): 698, Дои:10.2307/2275867, JSTOR  2275867
  7. ^ а б c d е Харт, Клаас Питер, "Обзор Парадокс Банаха – Тарского (2-е изд.) ", Математические обзоры, МИСТЕР  3616119
  8. ^ а б c d е Уоткинс, Джон Дж. (Июль 2017 г.), "Обзор Парадокс Банаха – Тарского (2-е изд.) ", Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки
  9. ^ Уилсон, Тревор М. (2005), "Вариант непрерывного движения парадокса Банаха-Тарского: решение проблемы де Гроота", Журнал символической логики, 70 (3): 946–952, Дои:10.2178 / jsl / 1122038921, МИСТЕР  2155273
  10. ^ Лацкович, М. (1990), "Равносоставимость и несоответствие; решение проблемы квадрата круга Тарского", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1990 (404): 77–117, Дои:10.1515 / crll.1990.404.77, МИСТЕР  1037431, S2CID  117762563
  11. ^ Догерти, Рэндалл; Форман, Мэтью (1994), "Разложения Банаха – Тарского с использованием множеств со свойством Бэра", Журнал Американского математического общества, 7 (1): 75–124, Дои:10.2307/2152721, JSTOR  2152721, МИСТЕР  1227475