Кривая Тейт - Tate curve

В математике Кривая Тейт кривая, определенная над кольцом формальных степенной ряд ${\displaystyle \mathbb {Z} [[q]]}$ с целыми коэффициентами. По открытой подсхеме, где q обратима, кривая Тейта является эллиптическая кривая. Кривая Тэйта также может быть определена для q как элемент полного поля нормы меньше единицы, и в этом случае формальные степенные ряды сходятся.

Кривая Тейта была введена Джон Тейт  (1995 ) в рукописи 1959 г., первоначально озаглавленной «Рациональные точки на эллиптических кривых над полными полями»; он опубликовал свои результаты только много лет спустя, и его работа впервые появилась в Рокетт (1970).

Определение

Кривая Тейта - это проективная плоская кривая над кольцом Z[[q]] формальных степенных рядов с целыми коэффициентами, заданных (в аффинном открытом подмножестве проективной плоскости) уравнением

${\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

куда

${\displaystyle -a_{4}=5\sum _{n}{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=5q+45q^{2}+140q^{3}+\cdots }$

${\displaystyle -a_{6}=\sum _{n}{\frac {7n^{5}+5n^{3}}{12}}\times {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+154q^{3}+\cdots }$

являются степенными рядами с целыми коэффициентами.^[1]

Кривая Тейта над полным полем

Предположим, что поле k полна по некоторому модулю | |, и q является ненулевым элементом поля k с |q| <1. Тогда ряды, указанные выше, сходятся и определяют эллиптическую кривую над k. Если вдобавок q отлична от нуля, то существует изоморфизм групп из k^*/q^Z к этой эллиптической кривой, взяв ш к (Икс(ш),у(ш)) за ш не сила q, куда

${\displaystyle x(w)=-y(w)-y(w^{-1})}$

${\displaystyle y(w)=\sum _{m\in \mathbf {Z} }{\frac {(q^{m}w)^{2}}{(1-q^{m}w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{(1-q^{m})^{2}}}}$

и взяв на себя полномочия q в бесконечно удаленную точку эллиптической кривой. Сериал Икс(ш) и у(ш) не являются формальными степенными рядами в ш.

Интуитивный пример

В случае кривой над полным полем ${\displaystyle k^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$, проще всего представить себе ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}/q^{\mathbb {Z} }}$, куда ${\displaystyle q^{\mathbb {Z} }}$ дискретная подгруппа, порожденная одним мультипликативным периодом ${\displaystyle e^{2\pi i\tau }}$, где период ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ изоморфен ${\displaystyle {\mathbb {C} +}/\mathbb {Z} +}$, куда ${\displaystyle \mathbb {C} +}$ сложение комплексных чисел.

Чтобы понять, почему кривая Тейта морально соответствует тору, когда поле C с обычной нормой, ${\displaystyle q}$ уже однократно периодический; модификация интегральными силами q, которые вы модифицируете ${\displaystyle \mathbb {C} }$ к ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$, который является тором. Другими словами, у нас есть кольцо, и мы склеиваем внутренние и внешние края.

Но кольцо не соответствует окружности без точки: кольцо - это набор комплексных чисел между двумя последовательными степенями q; произнесите все комплексные числа от 1 до q. Это дает нам две окружности, то есть внутренний и внешний края кольца.

Приведенное здесь изображение тора представляет собой набор инкрустированных кругов, все более и более узких по мере приближения к началу координат.

Это немного отличается от обычного метода, начиная с плоского листа бумаги, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, и склеив стороны, чтобы получился цилиндр ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$, а затем склеивая края цилиндра, чтобы получился тор, ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} ^{2}}$.

Это немного упрощено. Кривая Тейта на самом деле является кривой над кольцом формальных степенных рядов, а не кривой над C. Интуитивно понятно, что это семейство кривых, зависящих от формального параметра. Когда этот формальный параметр равен нулю, он вырождается в защемленный тор, а когда он отличен от нуля, он превращается в тор).

Характеристики

В j-инвариантный кривой Тейта задается степенным рядом по q с ведущим термином q⁻¹.^[2] Через п-адический местное поле, следовательно, j нецелочислен, и кривая Тейта имеет полустабильная редукция мультипликативного типа. Наоборот, любая полустабильная эллиптическая кривая над локальным полем изоморфна кривой Тейта (с точностью до квадратичный поворот ).^[3]

Рекомендации

1. Манин и Панчишкин (2007) с.220
2. Сильверман (1994) стр.423
3. Манин и Панчискин (2007) с.300

• Ланг, Серж (1987), Эллиптические функции, Тексты для выпускников по математике, 112 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-4752-4, ISBN  978-0-387-96508-6, МИСТЕР  0890960, Zbl  0615.14018
• Манин, Ю. Я.; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел. Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). ISBN  978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
• Роберт, Ален (1973), Эллиптические кривые, Конспект лекций по математике, 326, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-540-46916-2, ISBN  978-3-540-06309-4, МИСТЕР  0352107, Zbl  0256.14013
• Рокетт, Питер (1970), Аналитическая теория эллиптических функций над локальными полями, Hamburger Mathematische Einzelschriften (N.F.), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, МИСТЕР  0260753, Zbl  0194.52002
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Тексты для выпускников по математике. 151. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94328-5. Zbl  0911.14015.
• Тейт, Джон (1995) [1959], «Обзор неархимедовых эллиптических функций», у Коутса, Джона; Яу, Шинг-Тунг (ред.), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993), Ряды в теории чисел, я, Int. Press, Cambridge, MA, стр. 162–184, CiteSeerX  10.1.1.367.7205, ISBN  978-1-57146-026-4, МИСТЕР  1363501