Формула Танакаса - Tanakas formula

Не путать с Уравнение Танаки.

в стохастическое исчисление, Формула Танаки утверждает, что

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}$

куда B_т это стандарт Броуновское движение, sgn обозначает функция знака

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

и L_т это его местное время на 0 (местное время, потраченное B в 0 раньше времени т) данный L²-предел

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}$

Характеристики

Формула Танаки является явным Разложение Дуба – Мейера субмартингейла |B_т| в мартингейл часть ( интеграл справа) и непрерывно возрастающий процесс (местное время). Также его можно рассматривать как аналог Лемма Ито для (негладкой) функции абсолютного значения ${\displaystyle f(x)=|x|}$, с ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ и ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$; видеть местное время для формального объяснения термина Ито.

Схема доказательства

В функция |Икс| не является C² в Икс в Икс = 0, поэтому мы не можем применить Формула Ито напрямую. Но если мы приблизим его к нулю (т.е. в [-ε, ε]) к параболы

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}.}$

И используя Формула Ито тогда мы можем взять предел в качестве ε → 0, что приводит к формуле Танаки.

Рекомендации

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Пример 5.3.2)
• Ширяев, Альберт Н.; пер. Н. Кружилин (1999). Основы стохастических финансов: факты, модели, теория. Расширенная серия по статистической науке и прикладной теории вероятностей № 3. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN  981-02-3605-0.