Неравенство концентрации Талаграндов - Talagrands concentration inequality

В теория вероятности, Неравенство концентраций Талагранда является изопериметрический -тип неравенство за товар вероятностные пространства.^[1][2] Впервые это доказал французский математик. Мишель Талагранд.^[3] Неравенство - одно из проявлений концентрация меры явление.^[2]

Заявление

Неравенство утверждает, что если ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}}$ это пространство продукта наделен мера вероятности продукта и ${\displaystyle A}$является подмножеством в этом пространстве, то для любого ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \Pr[A]\cdot \Pr \left[{A_{t}^{c}}\right]\leq e^{-t^{2}/4}\,,}$

куда ${\displaystyle {A_{t}^{c}}}$ является дополнением ${\displaystyle A_{t}}$ где это определяется

${\displaystyle A_{t}=\{x\in \Omega ~:~\rho (A,x)\leq t\}}$

и где ${\displaystyle \rho }$ - выпуклое расстояние Талаграна, определяемое как

${\displaystyle \rho (A,x)=\max _{\alpha ,\|\alpha \|_{2}\leq 1}\ \min _{y\in A}\ \sum _{i~:~x_{i}\neq y_{i}}\alpha _{i}}$

куда ${\displaystyle \alpha \in \mathbf {R} ^{n}}$, ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ находятся ${\displaystyle n}$-мерные векторы с элементами${\displaystyle \alpha _{i},x_{i},y_{i}}$ соответственно и ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ это ${\displaystyle \ell ^{2}}$-норма. То есть,

${\displaystyle \|\alpha \|_{2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}}$

Рекомендации

1. Алон, Нога; Спенсер, Джоэл Х. (2000). Вероятностный метод (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-37046-0.
2. Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2864-9.
3. Талагранд, Мишель (1995). Концентрация меры и изопериметрические неравенства в продукционных пространствах. Публикации Mathématiques de l'IHÉS. Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BF02699376. ISSN  0073-8301.