Супертороид - Supertoroid

Супертороиды с a = b = 2 и различными комбинациями параметров s и t.

В геометрия и компьютерная графика, а супертороид или же суперторус обычно понимается как семья пончик -подобно поверхности (технически топологический тор ), форма которого определяется математическими формулами, аналогичными тем, которые определяют суперквадрика. Множественное число от "supertorus" либо supertori или же суперторусы.

Семья была описана и названа Алан Барр в 1994 г.^[1]

Супертороиды Барра были довольно популярны в компьютерной графике как удобная модель для многих объектов, таких как гладкие рамки для прямоугольных предметов. Одна четверть супертороида может обеспечить плавное и бесшовное соединение под углом 90 градусов между двумя суперкадрами. цилиндры. Однако они не алгебраические поверхности (кроме особых случаев).

Формулы

Супертороиды Алана Барра определяются параметрическими уравнениями, подобными уравнениям тригонометрический уравнения тора, за исключением того, что синус и косинус сроки возводятся в произвольное полномочия. А именно общая точка п(ты, v) поверхности определяется выражением

${\displaystyle P(u,v)=\left({\begin{array}{c}X(u,v)\\Y(u,v)\\Z(u,v)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(a+C_{u}^{s})C_{v}^{t}\\(b+C_{u}^{s})S_{v}^{t}\\S_{u}^{s}\end{array}}\right)}$

куда ${\displaystyle C_{\theta }^{\epsilon }=\operatorname {sgn} (\cos \theta )\left|\cos \theta \right|^{\epsilon }}$, ${\displaystyle S_{\theta }^{\epsilon }=\operatorname {sgn} (\sin \theta )\left|\sin \theta \right|^{\epsilon }}$, а параметры ты и v диапазон от 0 до 360 градусов (от 0 до 2π радианы ).

В этих формулах параметр s > 0 контролирует "прямоугольность" вертикальных секций, т > 0 контролирует прямоугольность горизонтальных секций, а а, б ≥ 1 - основные радиусы в Икс и Y направления. С s=т= 1 и а=б=р получается обычный тор с большим радиусом р и малый радиус 1, с центром в начале координат и вращательная симметрия о Z ось.

В общем, супертор, определенный как выше, охватывает интервалы ${\displaystyle [-(a+1),+(a+1)]}$ в Икс, ${\displaystyle [-(b+1),+(b+1)]}$ в Y, и ${\displaystyle [-1,+1]}$ в Z. Вся форма симметрична относительно плоскостей Икс=0, Y= 0 и Z= 0. Дыра проходит в Z направление и охватывает интервалы ${\displaystyle [-(a-1),+(a-1)]}$ в Икс и ${\displaystyle [-(b-1),+(b-1)]}$ в Y.

Кривая постоянного ты на этой поверхности горизонтальный Кривая Ламе с показателем 2 /т, в масштабе Икс и Y и перемещен в Z. Кривая постоянного v, спроецированный на самолет Икс= 0 или Y= 0, является кривой Ламе с показателем 2 /s, масштабированное и смещенное по горизонтали. Если v равен 0, кривая плоская и охватывает интервал ${\displaystyle [a-1,a+1]}$ в Икс, и ${\displaystyle [-1,+1]}$ в Z; и аналогично, если v составляет 90, 180 или 270 градусов. Кривая плоская также, если а = б.

В общем, если а≠б и v не делится на 90 градусов, кривая постоянной v не будет планарным; и, наоборот, вертикальное плоское сечение супертора не будет кривой Ламе.

Базовая форма супертороида, определенная выше, часто модифицируется неравномерным масштабированием для получения супертороидов определенной ширины, длины и вертикальной толщины.

Графический код

Следующее GNU Octave code генерирует графики супертора:

 функциясупертороид(эпсилон, а)п=50;  d=.1;  Этамакс=число Пи;  Этамин=-число Пи;  wmax=число Пи;  wmin=-число Пи;  Deta=(Этамакс-Этамин)/п;  dw=(wmax-wmin)/п;  k=0;  л=0;  за я = 1: п + 1    эта(я)=Этамин+(я-1)*Deta;    за j = 1: n + 1      ш(j)=wmin+(j-1)*dw;      Икс(я,j)=а(1)*(а(4)+знак(потому что(эта(я)))*пресс(потому что(эта(я)))^эпсилон(1))*знак(потому что(ш(j)))*пресс(потому что(ш(j)))^эпсилон(2);      у(я,j)=а(2)*(а(4)+знак(потому что(эта(я)))*пресс(потому что(эта(я)))^эпсилон(1))*знак(грех(ш(j)))*пресс(грех(ш(j)))^эпсилон(2);      z(я,j)=а(3)*знак(грех(эта(я)))*пресс(грех(эта(я)))^эпсилон(1);    конец;  конец;   сетка(Икс,у,z); конечная функция;

Смотрите также

• Суперэллипсоид
• Суперэгг
• Суперквадрика

Рекомендации

1. Алан Х. Барр (1981) Суперквадрики и преобразования с сохранением угла. IEEE Computer Graphics and Applications, volume 1 issue 1. стр. 11-23.