Последовательность без суммирования - Sum-free sequence

В математике последовательность без сумм растет последовательность из положительные целые числа,

{ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots,}

так что нет срока ${ displaystyle a_ {n}}$ может быть представлен как сумма любого подмножества предыдущих элементов той же последовательности.

Это отличается от набор без сумм, где следует избегать только пар сумм, но где эти суммы могут быть получены из всего набора, а не только из предыдущих членов.

Пример

В силы двух,

1, 2, 4, 8, 16, ...

образуют последовательность без суммы: каждый член в последовательности на единицу больше, чем сумма всех предыдущих членов, и поэтому не может быть представлен как сумма предыдущих членов.

Суммы обратных величин

Набор целых чисел называется маленький если сумма его взаимные сходится к конечному значению. Например, теорема о простых числах, то простые числа не маленькие. Пол Эрдёш (1962 ) доказал, что каждая последовательность без сумм мала, и спросил, насколько велика может быть сумма обратных величин. Например, сумма обратных степеней двойки (a геометрическая серия ) равно двум.

Если ${ displaystyle R}$ обозначает максимальную сумму обратных величин в последовательности без суммы, тогда из последующих исследований известно, что ${ displaystyle 2.0654$ .^[1]

Плотность

Из того, что последовательности без сумм малы, следует, что они имеют нулевые Плотность Шнирельмана; то есть, если ${ Displaystyle А (х)}$ определяется как количество элементов последовательности, которые меньше или равны ${ displaystyle x}$ , тогда ${ Displaystyle А (х) = о (х)}$ . Эрдёш (1962) показал, что для любой последовательности без сумм существует неограниченная последовательность чисел ${ displaystyle x_ {i}}$ для которого ${ Displaystyle А (х_ {я}) = О (х ^ { varphi -1})}$ куда ${ displaystyle varphi}$ это Золотое сечение, и он продемонстрировал последовательность без сумм, для которой для всех значений ${ displaystyle x}$ , ${ Displaystyle А (х) = Омега (х ^ {2/7})}$ , впоследствии улучшенный до ${ Displaystyle А (х) = Омега (х ^ {1/3})}$ Deshouillers, Erds и Melfi в 1999 году и ${ Displaystyle А (х) = Омега (х ^ {1 / 2- varepsilon})}$ Лучаком и Шоном в 2000 г., которые также доказали, что показатель степени 1/2 не может быть более улучшен.

Примечания

^ Левин и О'Салливан (1977); Эбботт (1987); Ян (2009); Чен (2013); Ян (2015); .

Рекомендации

Эбботт, Х. Л. (1987), "О последовательностях без сумм", Acta Arithmetica, 48 (1): 93–96, Дои:10.4064 / aa-48-1-93-96, МИСТЕР 0893466.
Чен, Юн Гао (2013), "О обратной сумме последовательности без сумм", Наука Китай Математика, 56 (5): 951–966, Bibcode:2013СЧА..56..951С, Дои:10.1007 / s11425-012-4540-6.
Deshouillers, Жан-Марк; Эрдёш, Пал; Мельфи, Джузеппе (1999), "К вопросу о последовательностях без сумм", Дискретная математика, 200 (1–3): 49–54, Дои:10.1016 / s0012-365x (98) 00322-7, МИСТЕР 1692278.
Эрдёш, Пал (1962), "Számelméleti megjegyzések, III. Néhány additív számelméleti problémáról" [Некоторые замечания по теории чисел, III] (PDF), Математикай Лапок (на венгерском), 13: 28–38, МИСТЕР 0144871.
Левин, Юджин; О'Салливан, Джозеф (1977), "Верхняя оценка обратной суммы для последовательности без суммы", Acta Arithmetica, 34 (1): 9–24, Дои:10.4064 / aa-34-1-9-24, МИСТЕР 0466016.
Лучак, Томаш; Schoen, Tomasz (2000), "О максимальной плотности множеств без сумм", Acta Arithmetica, 95 (3): 225–229, Дои:10.4064 / aa-95-3-225-229, МИСТЕР 1793162.
Ян, Ши Чун (2009), «Замечание об обратной сумме последовательности без суммы», Журнал математических исследований и экспозиции, 29 (4): 753–755, МИСТЕР 2549677.
Ян, Ши Чун (2015), "Верхняя граница обратной суммы по Эрдешу для последовательности без суммы", Scientia Sinica Mathematica, 45 (3): 213–232, Дои:10.1360 / N012014-00121.

[1] Левин и О'Салливан (1977); Эбботт (1987); Ян (2009); Чен (2013); Ян (2015); .

[1]