Функция Stumpff - Stumpff function

В небесная механика, то Функции Stumpff c_k(Икс), разработан Карл Штумпфф, используются для анализа орбиты с использованием универсальная формулировка переменных.^[1][2][3] Они определяются по формуле:

${displaystyle c_{k}(x)={frac {1}{k!}}-{frac {x}{(k+2)!}}+{frac {x^{2}}{(k+4)!}}-cdots =sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}x^{i}}{(k+2i)!}}}$

за ${displaystyle k=0,1,2,3,ldots }$ В серии над сходится абсолютно для всех настоящий Икс.

Сравнивая Серия Тейлор расширение тригонометрические функции грех и соз с c₀(Икс) и c₁(Икс) можно найти связь:

${displaystyle c_{0}(x)=cos {sqrt {x}},{ ext{ for }}x>0}$

${displaystyle c_{1}(x)={frac {sin {sqrt {x}}}{sqrt {x}}},{ ext{ for }}x>0}$

Аналогично, сравнивая с расширением гиперболические функции sinh и cosh находим:

${displaystyle c_{0}(x)=cosh {sqrt {-x}},{ ext{ for }}x<0}$

${displaystyle c_{1}(x)={frac {sinh {sqrt {-x}}}{sqrt {-x}}},{ ext{ for }}x<0}$

Функции Штумпффа удовлетворяют отношение повторения:

${displaystyle xc_{k+2}(x)={frac {1}{k!}}-c_{k}(x),{ ext{ for }}k=0,1,2,ldots ,.}$

Функции Штумпффа могут быть выражены через Функция Миттаг-Леффлера:

${displaystyle c_{k}(x)=E_{2,k+1}(-x).}$

Рекомендации

1. Дэнби, J.M.A. (1988), Основы небесной механики, Уиллман – Белл, ISBN  9780023271403
2. Карл Штумпфф (1956), Химмельсмеханик, Deutscher Verlag der Wissenschaften
3. Эдуард Штифель, Герхард Шайфеле (1971), Линейная и регулярная небесная механика, Springer-Verlag, ISBN  978-0-38705119-2