Теорема Стюартса - Stewarts theorem

В геометрия, Теорема Стюарта дает соотношение между длинами сторон и длиной чевиан в треугольнике. Свое название получил в честь шотландского математика. Мэтью Стюарт, опубликовавший теорему в 1746 г.^[1]

Заявление

Позволять ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle c}$ быть длинами сторон треугольника. Позволять ${\displaystyle d}$ быть длиной чевиан в сторону длины ${\displaystyle a}$. Если чевиан делит сторону длины ${\displaystyle a}$ на два отрезка длины ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, с ${\displaystyle m}$ рядом с ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle n}$ рядом с ${\displaystyle b}$, то теорема Стюарта утверждает, что

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Теорема может быть записана более симметрично, используя длину сегментов со знаком. То есть взять длину AB быть положительным или отрицательным в зависимости от того, А находится слева или справа от B в некоторой фиксированной ориентации линии. В этой формулировке теорема утверждает, что если А, B, и C коллинеарные точки, и п это любая точка, тогда

${\displaystyle PA^{2}\cdot BC+PB^{2}\cdot CA+PC^{2}\cdot AB+AB\cdot BC\cdot CA=0.}$^[2]

В частном случае, когда чевиан является медиана (то есть делит противоположную сторону на два отрезка равной длины), результат известен как Теорема Аполлония.

Обычная мнемоника, используемая учащимися для запоминания теоремы: Мужчина и его отец положили бомбу в раковину (мужчина + папа = bmb + cnc)

Доказательство

Теорема может быть доказана как приложение закон косинусов.^{[3][нужен лучший источник ]}

Позволять θ быть углом между м и d и θ ′ то угол между п и d. потом θ ′ это добавка из θ, и так потому что θ ′ = −cos θ. Применение закона косинусов к двум маленьким треугольникам с использованием углов θ и θ ′ производит

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

Умножая первое уравнение на п и третье уравнение м и их добавление устраняет потому что θ. Получается

${\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}}$

что и есть требуемое уравнение.

В качестве альтернативы теорему можно доказать, проведя перпендикуляр от вершины треугольника к основанию и используя теорема Пифагора писать расстояния б, c, и d по высоте. Левая и правая части уравнения затем алгебраически сводятся к одному и тому же выражению.^[2]

История

В соответствии с Хаттон и Грегори (1843, п. 220), Стюарт опубликовал результат в 1746 году, когда он был кандидатом на замену Колин Маклорен как профессор математики в Эдинбургском университете. Кокстер и Грейцер (1967), п. 6) указать, что результат, вероятно, был известен Архимед около 300 г. до н. э. Далее они говорят (ошибочно), что первое известное доказательство было предоставлено Р. Симсоном в 1751 году. Хаттон и Грегори (1843) утверждают, что результат был использован Симсоном в 1748 году и Симпсоном в 1752 году, а его первое появление в Европе было дано Лазар Карно в 1803 г.

Смотрите также

• Геометрия точки массы

Примечания

1. Стюарт, Мэтью (1746), Некоторые общие теоремы, которые можно широко использовать в высших разделах математики, Эдинбург: Сэндс, Мюррей и Кокран «Предложение II»
2. Рассел 1905, п. 3
3. Доказательство теоремы Стюарта. в PlanetMath.

Рекомендации

• Coxeter, H.S.M .; Грейцер, С. (1967), Возвращение к геометрии, Новая математическая библиотека № 19, Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-619-0
• Hutton, C .; Григорий, О. (1843 г.), Курс математики, II, Longman, Orme & Co.
• Рассел, Джон Уэлсли (1905), «Глава 1 § 3: Теорема Стюарта», Чистая геометрия, Кларендон Пресс, OCLC  5259132

дальнейшее чтение

• И.С. Амарасингхе, Решения проблемы 43.3: Теорема Стюарта (А Новое доказательство для теоремы Стюарта используя теорему Птолемея), Математический спектр, Об. 43(03)2011. С. 138 - 139.
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), Геометрия по ее истории, Springer, стр. 112, ISBN  978-3-642-29162-3

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Стюарта». MathWorld.
• Теорема Стюарта в PlanetMath.