Спектр устойчивости - Stability spectrum

В теория моделей, филиал математическая логика, а полный теория первого порядка Т называется устойчив по λ (бесконечный количественное числительное ), если Каменное пространство каждого модель из Т размера ≤ λ имеет размер ≤ λ. Т называется стабильная теория если не существует верхней границы для кардиналов κ таких, что Т устойчиво в κ. В спектр устойчивости из Т - класс всех кардиналов κ таких, что Т устойчиво в κ.

Для счетных теорий существует только четыре возможных спектра устойчивости. Соответствующие разделительные линии те для полная трансцендентность, сверхстабильность и стабильность. Этот результат обусловлен Сахарон Шелах, который также определил стабильность и сверхстабильность.

Теорема о спектре устойчивости для счетных теорий

Теорема.Всякая счетная полная теория первого порядка Т попадает в один из следующих классов:

Т устойчиво по λ для всех бесконечных кардиналов λ—Т полностью трансцендентен.
Т устойчиво по λ ровно для всех кардиналов λ с λ ≥ 2^ω—Т сверхстабильно, но не полностью трансцендентно.
Т устойчиво по λ ровно для всех кардиналов λ, удовлетворяющих λ = λ^ω—Т стабильно, но не сверхстабильно.
Т не устойчива ни при каком бесконечном кардинале λ—Т нестабильно.

Условие на λ в третьем случае выполняется для кардиналов вида λ = κ^ω, но не для кардиналов λ конфинальности ω (поскольку λ <λ^{cof λ}).

Совершенно трансцендентные теории

Полная теория первого порядка Т называется полностью трансцендентный если каждая формула ограничена Ранг Морли, т.е. если RM (φ) <∞ для любой формулы φ (Икс) с параметрами в модели Т, куда Икс может быть набором переменных. Достаточно проверить, что RM (Икс=Икс) <∞, где Икс это единственная переменная.

Для счетных теорий тотальная трансцендентность эквивалентна устойчивости в ω, и поэтому счетные вполне трансцендентные теории часто называют ω-стабильный для краткости. Совершенно трансцендентная теория устойчива при любом λ ≥ |Т|, следовательно, счетная ω-стабильная теория устойчива во всех бесконечных кардиналах.

Каждый бесчисленно категоричный счетная теория полностью трансцендентна. Сюда входят полные теории векторных пространств или алгебраически замкнутых полей. Теории группы конечного ранга Морли являются еще одним важным примером полностью трансцендентальных теорий.

Сверхстабильные теории

Полная теория первого порядка Т является сверхустойчивым, если существует функция ранга на полных типах, которая по существу обладает теми же свойствами, что и ранг Морли в полностью трансцендентной теории. Всякая полностью трансцендентальная теория сверхстабильна. Теория Т является сверхустойчивым тогда и только тогда, когда оно устойчиво по всем кардиналам λ ≥ 2^|Т|.

Стабильные теории

Теория, устойчивая при одном кардинале λ ≥ |Т| устойчиво по всем кардиналам λ, удовлетворяющим λ = λ^|Т|. Следовательно, теория устойчива тогда и только тогда, когда она устойчива по некоторому кардиналу λ ≥ |Т|.

Неустойчивые теории

Большинство математически интересных теорий попадают в эту категорию, включая сложные теории, такие как любое полное расширение теории множеств ZF, и относительно простые теории, такие как теория реальных замкнутых полей. Это показывает, что спектр устойчивости - относительно тупой инструмент. Чтобы получить более точные результаты, можно посмотреть на точные мощности пространств Стоуна по моделям размера ≤ λ, а не просто спрашивать, не больше ли они λ.

Бесчисленное дело

Для общей устойчивой теории Т на возможно несчетном языке, спектр устойчивости определяется двумя кардиналами κ и λ₀, так что Т устойчиво по λ именно тогда, когда λ ≥ λ₀ и λ^μ = λ для всех μ <κ. Итак, λ₀ наименьший бесконечный кардинал, для которого Т стабильно. Эти инварианты удовлетворяют неравенствам

κ ≤ |Т|⁺
κ ≤ λ₀
λ₀ ≤ 2^|Т|
Если λ₀ > |Т|, то λ₀ ≥ 2^ω

Когда |Т| счетно, 4 возможности его спектра устойчивости соответствуют следующим значениям этих кардиналов:

κ и λ₀ не определены: Т нестабильно.
λ₀ 2^ω, κ - это ω₁: Т стабильно, но не сверхстабильно
λ₀ 2^ω, κ - это ω: Т сверхустойчиво, но не ω-стабильно.
λ₀ есть ω, κ равно ω: Т полностью трансцендентна (или ω-стабильна)

Смотрите также

Спектр теории