Спектр теории - Spectrum of a theory

В теория моделей, филиал математическая логика, то спектр теориидается числом классов изоморфизма моделей разной мощности. Точнее для любого полная теория Т на языке, который мы пишем я(Т, α) для количества моделей Т (с точностью до изоморфизма) мощности α. В проблема спектра заключается в описании возможного поведения я(Т, α) как функция α. В случае счетной теории она решена почти полностью. Т.

Первые результаты

В этой секции Т является счетной полной теорией и κ кардинал.

В Теорема Левенгейма – Сколема показывает, что если я(Т,κ) отличен от нуля для одного бесконечного кардинала, то он отличен от нуля для всех из них.

Теорема Морли о категоричности был первым важным шагом в решении проблемы спектра: он утверждает, что если я(Т,κ) равно 1 для некоторых несчетных κ тогда это 1 для всех бесчисленных κ.

Роберт Воот показало, что я(Т, ℵ₀) не может быть 2. Легко найти примеры, когда это любое заданное неотрицательное целое число, отличное от 2. Морли доказал, что если я(Т, ℵ₀) бесконечно, то должно быть ℵ₀ или ℵ₁ или 2^ℵ₀. Неизвестно, может ли это быть ℵ₁ если гипотеза континуума ложно: это называется Гипотеза воота и является основной оставшейся открытой проблемой (в 2005 г.) в теории спектра.

Проблема морли был догадка (теперь теорема), впервые предложенная Майкл Д. Морли который я(Т,κ) является неубывающий в κ для бесчисленных κ. Это было доказано Сахарон Шелах. Для этого он доказал очень глубокую теорему о дихотомии.

Сахарон Шелах дал почти полное решение проблемы спектра. Для данной полной теории Т, либо я(Т,κ) = 2^κ для всех бесчисленных кардиналов κ, или же ${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |)}$ для всех ординалов ξ (см. Число Алеф и Число Бет для пояснения обозначений), которая обычно намного меньше оценки в первом случае. Грубо говоря, это означает, что либо существует максимально возможное количество моделей во всех бесчисленных мощностях, либо существует только «несколько» моделей во всех бесчисленных мощностях. Шелах также дал описание возможных спектров в случае, когда моделей мало.

Список возможных спектров счетной теории

Расширяя работу Шелаха, Брэд Харт, Эхуд Грушовски и Майкл С. Ласковски дал следующее полное решение проблемы спектра для счетных теорий в несчетных мощностях. Если Т является счетной полной теорией, то число I (Т, ℵ_α) классов изоморфизма моделей задается для ординалов α> 0 минимумом 2^ℵ_α и одну из следующих карт:

1. 2^ℵ_α. Примеры: есть много примеров, в частности любая неклассифицируемая или глубокая теория, такая как теория случайный граф.
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$ для некоторого счетного бесконечного порядкового d. (Для конечных d см. случай 8.) Примеры: теория с отношениями эквивалентности E_β для всех β с β + 1 <d, так что каждый E_γ класс - это объединение бесконечно многих E_β классы, и каждый E₀ класс бесконечен.
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$ для некоторого конечного положительного ординала d. Пример (для d= 1): теория счетного числа независимых унарных предикатов.
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$ для некоторого конечного положительного ординала d.
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$ для некоторого конечного положительного ординала d;
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$ для некоторого конечного положительного ординала d. Пример (для d= 1): теория счетного множества непересекающихся унарных предикатов.
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$ для некоторого конечного ординала d≥2;
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$ для некоторого конечного положительного ординала d;
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$ для некоторого конечного ординала d≥2; Примеры: аналогично случаю 2.
10. ${\displaystyle \beth _{2}}$. Пример: теория целых чисел как абелева группа.
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$ для конечного α и | α | для бесконечного α, где грамм - некоторая подгруппа симметрической группы на п ≥ 2 элемента. Здесь мы отождествляем α^п с набором последовательностей длины п элементов множества размера α. грамм действует на α^п перестановкой элементов последовательности, и | α^п/грамм| обозначает количество орбит этого действия. Примеры: теория множества ω ×п действовал венок из грамм со всеми перестановками ω.
12. ${\displaystyle 1}$. Примеры: теории, категоричные в бесчисленных кардиналах, такие как теория алгебраически замкнутых полей в заданной характеристике.
13. ${\displaystyle 0}$. Примеры: теории с конечной моделью и противоречивые теории.

Более того, все вышеперечисленные возможности возникают как спектр некоторой счетной полной теории.

Номер d в списке выше - глубина теории. Т это теория мы определяем новую теорию 2^Т быть теорией с таким отношением эквивалентности, что существует бесконечно много классов эквивалентности, каждый из которых является моделью Т. Мы также определяем теории ${\displaystyle \beth _{n}(T)}$ к ${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$, ${\displaystyle \beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}}$. потом ${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$ . Это может быть использовано для построения примеров теорий со спектрами в списке выше для неминимальных значений d из примеров для минимального значения d.

Смотрите также

• Спектр предложения

Рекомендации

• К. С. Чанг, Х. Дж. Кейслер, Модельная теория. ISBN  0-7204-0692-7
• Сахарон Шелах, «Теория классификации и ряд неизоморфных моделей», Исследования по логике и основам математики, т. 92, IX, 1.19, p.49 (Северная Голландия, 1990).
• Харт, Брэд; Грушовский, Эхуд; Ласковски, Майкл С. (2000). «Бесчисленные спектры счетных теорий». Анналы математики. 152 (1): 207–257. arXiv:математика / 0007199. Bibcode:2000математика ...... 7199H. Дои:10.2307/2661382. JSTOR  2661382.
• Брэдд Харт, Майкл С. Ласковски, "Обзор бесчисленных спектров счетных теорий", Теория алгебраических моделей, под редакцией Харта, Лахлана, Валериота (Springer, 1997). ISBN  0-7923-4666-1