Квадратные отклонения от среднего - Squared deviations from the mean

Квадратные отклонения от среднего (SDM) участвуют в различных расчетах. В теория вероятности и статистика, определение отклонение либо ожидаемое значение SDM (при рассмотрении теоретического распределение ) или его среднее значение (для реальных экспериментальных данных). Расчеты для дисперсионный анализ вовлекают разбиение суммы SDM.

Вступление

Понимание используемых вычислений значительно улучшается за счет изучения статистической ценности

${displaystyle operatorname {E} (X^{2})}$, куда ${displaystyle operatorname {E} }$ - оператор ожидаемого значения.

Для случайная переменная ${displaystyle X}$ со средним ${displaystyle mu }$ и дисперсия ${displaystyle sigma ^{2}}$,

${displaystyle sigma ^{2}=operatorname {E} (X^{2})-mu ^{2}.}$^[1]

Следовательно,

${displaystyle operatorname {E} (X^{2})=sigma ^{2}+mu ^{2}.}$

Из вышесказанного можно вывести следующее:

${displaystyle operatorname {E} left(sum left(X^{2}ight)ight)=nsigma ^{2}+nmu ^{2},}$

${displaystyle operatorname {E} left(left(sum Xight)^{2}ight)=nsigma ^{2}+n^{2}mu ^{2}.}$

Выборочная дисперсия

Основная статья: Выборочная дисперсия

Сумма квадратов отклонений, необходимая для расчета выборочная дисперсия (прежде чем решить, делить ли на п или же п - 1) проще всего рассчитать как

${displaystyle S=sum x^{2}-{frac {left(sum xight)^{2}}{n}}}$

Из двух производных ожиданий, приведенных выше, ожидаемое значение этой суммы равно

${displaystyle operatorname {E} (S)=nsigma ^{2}+nmu ^{2}-{frac {nsigma ^{2}+n^{2}mu ^{2}}{n}}}$

что подразумевает

${displaystyle operatorname {E} (S)=(n-1)sigma ^{2}.}$

Это эффективно доказывает использование делителя п - 1 в расчете на беспристрастный выборочная оценкаσ².

Разделение - дисперсионный анализ

Основная статья: Разбиение сумм квадратов

В ситуации, когда данные доступны для k различные группы лечения, имеющие размер п_я куда я варьируется от 1 до k, то предполагается, что ожидаемое среднее значение каждой группы равно

${displaystyle operatorname {E} (mu _{i})=mu +T_{i}}$

и дисперсия каждой группы лечения не отличается от дисперсии населения ${displaystyle sigma ^{2}}$.

Согласно нулевой гипотезе о том, что лечение не оказывает никакого эффекта, каждый из ${displaystyle T_{i}}$ будет ноль.

Теперь можно вычислить три суммы квадратов:

Индивидуальный

${displaystyle I=sum x^{2}}$

${displaystyle operatorname {E} (I)=nsigma ^{2}+nmu ^{2}}$

Лечение

${displaystyle T=sum _{i=1}^{k}left(left(sum xight)^{2}/n_{i}ight)}$

${displaystyle operatorname {E} (T)=ksigma ^{2}+sum _{i=1}^{k}n_{i}(mu +T_{i})^{2}}$

${displaystyle operatorname {E} (T)=ksigma ^{2}+nmu ^{2}+2mu sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}$

При нулевой гипотезе, что методы лечения не вызывают различий и все ${displaystyle T_{i}}$ равны нулю, математическое ожидание упрощается до

${displaystyle operatorname {E} (T)=ksigma ^{2}+nmu ^{2}.}$

Комбинация

${displaystyle C=left(sum xight)^{2}/n}$

${displaystyle operatorname {E} (C)=sigma ^{2}+nmu ^{2}}$

Суммы квадратов отклонений

При нулевой гипотезе разница любой пары я, Т, и C не содержит зависимости от ${displaystyle mu }$, Только ${displaystyle sigma ^{2}}$.

${displaystyle operatorname {E} (I-C)=(n-1)sigma ^{2}}$ общие квадраты отклонений, также известные как общая сумма квадратов

${displaystyle operatorname {E} (T-C)=(k-1)sigma ^{2}}$ лечение в квадрате отклонений, также известное как объясненная сумма квадратов

${displaystyle operatorname {E} (I-T)=(n-k)sigma ^{2}}$ остаточные квадратные отклонения, также известные как остаточная сумма квадратов

Константы (п − 1), (k - 1) и (п − k) обычно называют количеством степени свободы.

Пример

В очень простом примере пять наблюдений возникают из двух обработок. Первая обработка дает три значения 1, 2 и 3, а вторая обработка дает два значения 4 и 6.

${displaystyle I={frac {1^{2}}{1}}+{frac {2^{2}}{1}}+{frac {3^{2}}{1}}+{frac {4^{2}}{1}}+{frac {6^{2}}{1}}=66}$

${displaystyle T={frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62}$

${displaystyle C={frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2}$

Давать

Суммарные квадраты отклонений = 66 - 51,2 = 14,8 с 4 степенями свободы.

Квадрат отклонений лечения = 62 - 51,2 = 10,8 с 1 степенью свободы.

Остаточные квадратные отклонения = 66 - 62 = 4 с 3 степенями свободы.

Двусторонний дисперсионный анализ

Основная статья: Двусторонний дисперсионный анализ

Следующий гипотетический пример показывает урожайность 15 растений, подверженных двум различным изменениям окружающей среды, и трех различных удобрений.

	Дополнительный CO2	Дополнительная влажность
Без удобрений	7, 2, 1	7, 6
Нитрат	11, 6	10, 7, 3
Фосфат	5, 3, 4	11, 4

Рассчитываются пять сумм квадратов:

Фактор	Расчет	Сумма	${displaystyle sigma ^{2}}$
Индивидуальный	${displaystyle 7^{2}+2^{2}+1^{2}+7^{2}+6^{2}+11^{2}+6^{2}+10^{2}+7^{2}+3^{2}+5^{2}+3^{2}+4^{2}+11^{2}+4^{2}}$	641	15
Удобрение × Окружающая среда	${displaystyle {frac {(7+2+1)^{2}}{3}}+{frac {(7+6)^{2}}{2}}+{frac {(11+6)^{2}}{2}}+{frac {(10+7+3)^{2}}{3}}+{frac {(5+3+4)^{2}}{3}}+{frac {(11+4)^{2}}{2}}}$	556.1667	6
Удобрения	${displaystyle {frac {(7+2+1+7+6)^{2}}{5}}+{frac {(11+6+10+7+3)^{2}}{5}}+{frac {(5+3+4+11+4)^{2}}{5}}}$	525.4	3
Среда	${displaystyle {frac {(7+2+1+11+6+5+3+4)^{2}}{8}}+{frac {(7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{7}}}$	519.2679	2
Композитный	${displaystyle {frac {(7+2+1+11+6+5+3+4+7+6+10+7+3+11+4)^{2}}{15}}}$	504.6	1

Наконец, суммы квадратов отклонений, необходимые для дисперсионный анализ можно рассчитать.

Фактор	Сумма	${displaystyle sigma ^{2}}$	Общий	Среда	Удобрения	Удобрение × Окружающая среда	Остаточный
Индивидуальный	641	15	1				1
Удобрение × Окружающая среда	556.1667	6				1	−1
Удобрения	525.4	3			1	−1
Среда	519.2679	2		1		−1
Композитный	504.6	1	−1	−1	−1	1
Квадратные отклонения			136.4	14.668	20.8	16.099	84.833
Степени свободы			14	1	2	2	9

Смотрите также

• Абсолютное отклонение
• Алгоритмы расчета дисперсии
• Ошибки и остатки
• Наименьших квадратов
• Среднеквадратичная ошибка
• Остаточная сумма квадратов
• Разложение дисперсии

Рекомендации

1. Настроение и недовольство: Введение в теорию статистики (Макгроу Хилл)