Лемма о расщеплении (функции) - Splitting lemma (functions)

Не путать с лемма о расщеплении в гомологическая алгебра.

В математика, особенно в теория сингулярности в лемма о расщеплении полезный результат благодаря Рене Том который позволяет упростить локальное выражение функции, обычно применяемой в окрестности вырожденного критическая точка.

Официальное заявление

Позволять ${\displaystyle \scriptstyle f:(\mathbb {R} ^{n},\,0)\;\to \;(\mathbb {R} ,\,0)}$ - росток гладкой функции с критической точкой в ​​0 (так что ${\displaystyle \scriptstyle (\partial f/\partial x_{i})(0)\;=\;0,\;(i=1,\,\dots ,\,n)}$). Позволять V быть подпространством ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ так что ограничение f | V является невырожденный, и писать B для матрицы Гессе этого ограничения. Позволять W любое дополнительное подпространство к V. Затем происходит смена координат ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (x,\,y)}$ формы ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (x,\,y)\;=\;(\phi (x,\,y),\,y)}$ с ${\displaystyle \scriptstyle x\,\in \,V,\;y\,\in \,W}$, а гладкая функция час на W такой, что

${\displaystyle f\circ \Phi (x,y)=\textstyle {\frac {1}{2}}x^{T}Bx+h(y).}$

Этот результат часто называют параметризованным Лемма Морса, что можно увидеть, просмотрев у в качестве параметра. Это версия градиента из теорема о неявной функции.

Расширения

Существуют расширения до бесконечных измерений, до комплексных аналитических функций, до функций, инвариантных относительно действия компактной группы,. . .

Рекомендации

• Постон, Тим; Стюарт, Ян (1979), Теория катастроф и ее приложения, Питман, ISBN  978-0-273-08429-7.
• Брокер, Th (1975), Дифференциальные микробы и катастрофы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-20681-5.