Спектральный анализ формы - Spectral shape analysis

Spectral анализ формы полагается на спектр (собственные значения и / или собственные функции ) из Оператор Лапласа – Бельтрами сравнивать и анализировать геометрические фигуры. Поскольку спектр оператора Лапласа – Бельтрами инвариантен относительно изометрии, он хорошо подходит для анализа или поиска нежестких форм, то есть сгибаемых объектов, таких как люди, животные, растения и т. д.

Лаплас

В Оператор Лапласа – Бельтрами участвует во многих важных дифференциальных уравнениях, таких как уравнение теплопроводности и волновое уравнение. Его можно определить на Риманово многообразие как расхождение из градиент действительной функции ж:

${\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad} f.}$

Его спектральные компоненты могут быть вычислены путем решения Уравнение Гельмгольца (или лапласианская проблема собственных значений):

${\displaystyle \Delta \varphi _{i}+\lambda _{i}\varphi _{i}=0.}$

Решениями являются собственные функции ${\displaystyle \varphi _{i}}$ (моды) и соответствующие собственные значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$, представляющий расходящуюся последовательность положительных действительных чисел. Первое собственное значение равно нулю для замкнутых областей или при использовании Граничное условие Неймана. Для некоторых форм спектр можно вычислить аналитически (например, прямоугольник, плоский тор, цилиндр, диск или сфера). Например, для шара собственными функциями являются сферические гармоники.

Наиболее важные свойства собственных значений и собственных функций заключаются в том, что они являются инвариантами изометрии. Другими словами, если форма не растянута (например, лист бумаги согнут в третьем измерении), спектральные значения не изменятся. Сгибаемые объекты, такие как животные, растения и люди, могут принимать разные позы с минимальным растяжением суставов. Полученные формы называются почти изометрическими, и их можно сравнить с помощью анализа спектральных форм.

Дискретизации

Геометрические формы часто представлены как 2D криволинейные поверхности, 2D поверхностные сетки (обычно треугольные сетки ) или трехмерных твердых объектов (например, используя воксели или же тетраэдры сетки). Уравнение Гельмгольца может быть решено для всех этих случаев. Если граница существует, например Для квадрата или объема любой трехмерной геометрической формы необходимо указать граничные условия.

Существует несколько дискретизаций оператора Лапласа (см. Дискретный оператор Лапласа ) для различных типов геометрических представлений. Многие из этих операторов плохо аппроксимируют основной непрерывный оператор.

Дескрипторы спектральной формы

ShapeDNA и ее варианты

ShapeDNA - один из первых дескрипторов формы спектра. Это нормализованная начальная последовательность собственных значений оператора Лапласа – Бельтрами.^[1][2] Его основными преимуществами являются простое представление (вектор чисел) и сравнение, масштабная инвариантность и, несмотря на его простоту, очень хорошие характеристики для восстановления формы нежестких форм.^[3] Конкуренты shapeDNA включают сингулярные значения матрицы геодезических расстояний (SD-GDM) ^[4] и сокращенная бигармоническая матрица расстояний (R-BiHDM).^[5]Однако собственные значения являются глобальными дескрипторами, поэтому shapeDNA и другие глобальные спектральные дескрипторы не могут использоваться для локального или частичного анализа формы.

Сигнатура глобальной точки (GPS)

Сигнатура глобальной точки^[6] в какой-то момент ${\displaystyle x}$ - вектор масштабированных собственных функций оператора Лапласа – Бельтрами, вычисленных при ${\displaystyle x}$ (т.е. спектральное вложение формы). GPS - это глобальная функция в том смысле, что ее нельзя использовать для частичного согласования формы.

Подпись теплового ядра (HKS)

Подпись теплового ядра^[7] использует собственное разложение тепловое ядро:

${\displaystyle h_{t}(x,y)=\sum _{i=0}^{\infty }\exp(-\lambda _{i}t)\varphi _{i}(x)\varphi _{i}(y).}$

Для каждой точки на поверхности диагональ теплового ядра ${\displaystyle h_{t}(x,x)}$ выбирается в определенные значения времени ${\displaystyle t_{j}}$ и дает локальную сигнатуру, которая также может использоваться для частичного совпадения или обнаружения симметрии.

Подпись ядра волны (WKS)

WKS^[8] следует той же идее, что и HKS, заменяя уравнение теплопроводности волновым уравнением Шредингера.

Улучшенная сигнатура волнового ядра (IWKS)

IWKS^[9] улучшает WKS для восстановления нежесткой формы, вводя новую функцию масштабирования для собственных значений и объединяя новый член кривизны.

Вейвлет-сигнатура на спектральном графике (SGWS)

SGWS - это локальный дескриптор, который не только изометрически инвариантен, но также компактен, легко вычисляется и сочетает в себе преимущества полосовых и низкочастотных фильтров. Важным аспектом SGWS является возможность объединить преимущества WKS и HKS в единую подпись, обеспечивая при этом представление форм с разными разрешениями.^[10]

Спектральное соответствие

Спектральное разложение лапласиана графа, связанного со сложными формами (см. Дискретный оператор Лапласа ) обеспечивает собственные функции (моды), инвариантные по отношению к изометриям. Каждая вершина на форме может быть уникально представлена ​​комбинациями собственных модальных значений в каждой точке, иногда называемых спектральными координатами:

${\displaystyle s(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{N}(x)){\text{ for vertex }}x.}$

Спектральное сопоставление состоит в установлении соответствия точек путем объединения вершин на разных фигурах, имеющих наиболее похожие спектральные координаты. Ранняя работа ^[11][12][13] сосредоточился на разреженных соответствиях для стереоскопии. Вычислительная эффективность теперь обеспечивает плотные соответствия на полных сетках, например, между кортикальными поверхностями.^[14] Спектральное согласование также может использоваться для сложных нежестких регистрация изображения, что особенно сложно, когда изображения имеют очень большие деформации.^[15] Такие методы регистрации изображений, основанные на спектральных собственных модальных значениях, действительно захватывают Глобальный характеристики формы и контраст с обычными нежесткими методами совмещения изображений, которые часто основаны на локальных характеристиках формы (например, градиентах изображения).

Рекомендации

1. Рейтер М. и Вольтер Ф.-Э. и Пайнеке, Н. (2005). «Спектры Лапласа как отпечатки пальцев для согласования формы». Труды Симпозиума ACM 2005 г. по твердому и физическому моделированию. С. 101–106. Дои:10.1145/1060244.1060256.
2. Рейтер М. и Вольтер Ф.-Э. и Пайнеке, Н. (2006). «Спектры Лапласа – Бельтрами как форма ДНК поверхностей и твердых тел». Системы автоматизированного проектирования. 38 (4): 342–366. Дои:10.1016 / j.cad.2005.10.011.
3. Lian, Z .; и другие. (2011). «Трек SHREC'11: восстановление формы на нежестких трехмерных водонепроницаемых сетках». Материалы семинара Eurographics 2011 по поиску 3D-объектов (3DOR'11). С. 79–88. Дои:10.2312 / 3DOR / 3DOR11 / 079-088.
4. Смитс, Дирк; Фабри, Томас; Германс, Йерун; Вандермейлен, Дирк; Суэтенс, Пол (2009). «Моделирование изометрической деформации для распознавания объектов». Компьютерный анализ изображений и паттернов. Конспект лекций по информатике. 5702. С. 757–765. Bibcode:2009LNCS.5702..757S. Дои:10.1007/978-3-642-03767-2_92. ISBN  978-3-642-03766-5.
5. Йе Дж. И Ю. Ю. (2015). «Быстрое преобразование модального пространства для надежного извлечения нежесткой формы». Визуальный компьютер, Springer. 32 (5): 553. Дои:10.1007 / s00371-015-1071-5. HDL:10722/215522.
6. Рустамов, Р. (4 июля 2007 г.). «Собственные функции Лапласа – Бельтрами для представления формы, инвариантной к деформации». Материалы пятого симпозиума Eurographics по обработке геометрии. Еврографическая ассоциация. С. 225–233. ISBN  978-3-905673-46-3.
7. Сан, Дж., Овсяников, М., Гибас, Л. (2009). «Краткая и доказуемо информативная многомасштабная подпись, основанная на диффузии тепла». Форум компьютерной графики. 28. С. 1383–1392. Дои:10.1111 / j.1467-8659.2009.01515.x.
8. Обри, М., Шликвей, У. и Кремерс Д. (2011). «Сигнатура волнового ядра: квантово-механический подход к анализу формы». Мастерские по компьютерному зрению (ICCV Workshops), Международная конференция IEEE 2011 г.. С. 1626–1633. Дои:10.1109 / ICCVW.2011.6130444.
9. Лимбергер, Ф.А. и Уилсон, Р.С. (2015). «Кодирование характеристик спектральных сигнатур для извлечения трехмерных нежестких форм». Труды Британской конференции по машинному зрению (BMVC). С. 56.1–56.13. Дои:10.5244 / C.29.56.
10. Масуми, Маджид; Ли, Чуньюань; Бен Хамза, А (2016). "Спектральный подход вейвлета графа для нежесткого восстановления трехмерной формы". Письма с распознаванием образов. 83: 339–48. Дои:10.1016 / j.patrec.2016.04.009.
11. Умэяма, S (1988). «Подход собственной декомпозиции к задачам сопоставления взвешенных графов». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 10 (5): 695–703. Дои:10.1109/34.6778.
12. Скотт, Г.Л. и Лонге-Хиггинс, ХК (1991). «Алгоритм сопоставления признаков двух изображений». Труды Лондонского королевского общества. Серия B: Биологические науки. 244 (1309): 21–26. Bibcode:1991РСПСБ.244 ... 21С. Дои:10.1098 / rspb.1991.0045. PMID  1677192.
13. Шапиро, LS и Брэди, JM (1992). «Соответствие на основе признаков: подход собственных векторов». Вычисления изображений и зрения. 10 (5): 283–288. Дои:10.1016/0262-8856(92)90043-3.
14. Ломберт, Х. и Грэди, Л. и Полимени, Дж. Р. и Шериет, Ф. (2013). «FOCUSR: функционально-ориентированное соответствие с использованием спектральной регуляризации - метод точного согласования поверхностей». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 35 (9): 2143–2160. Дои:10.1109 / tpami.2012.276. ЧВК  3707975. PMID  23868776.
15. Lombaert, H, и Grady, L, и Pennec, X, и Ayache, N, и Cheriet, F (2014). «Спектральные лог-демоны - регистрация диффеоморфных изображений с очень большими деформациями». Международный журнал компьютерного зрения. 107 (3): 254–271. CiteSeerX  10.1.1.649.9395. Дои:10.1007 / s11263-013-0681-5.