Теорема Шпехта - Spechts theorem

В математике Теорема Шпехта дает необходимое и достаточное условие для двух матрицы быть унитарно эквивалентный. Он назван в честь Вильгельм Шпехт, который доказал теорему в 1940 году.[1]

Две матрицы А и B как говорят унитарно эквивалентный если существует унитарная матрица U такой, что B = U *AU.[2] Две унитарно эквивалентные матрицы также похожий. Две похожие матрицы представляют собой одинаковые линейная карта, но по отношению к другому основа; унитарная эквивалентность соответствует переходу от ортонормированный базис к другому ортонормированному базису.

Если А и B унитарно эквивалентны, то tr AA* = tr BB*, где tr обозначает след (другими словами, Норма Фробениуса - унитарный инвариант). Это следует из циклической инвариантности следа: если B = U *AU, то tr BB* = tr U *AUU *А*U = tr AUU *А*UU * = tr AA*, где второе равенство - циклическая инвариантность.[3]

Таким образом, tr AA* = tr BB* - необходимое условие унитарной эквивалентности, но этого недостаточно. Теорема Шпехта дает бесконечно много необходимых условий, которые в совокупности также достаточны. В формулировке теоремы используется следующее определение. А слово в двух переменных, скажем Икс и у, является выражением формы

куда м1, п1, м2, п2, …, мп неотрицательные целые числа. В степень этого слова

Теорема Шпехта: Две матрицы А и B унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда tr W(А, А*) = tr W(B, B*) для всех слов W.[4]

Теорема дает бесконечное число тождеств следов, но может быть сведено к конечному подмножеству. Позволять п обозначим размер матриц А и B. По делу п = 2, достаточно трех условий:[5]

За п = 3, достаточно семи условий:

 [6]

Для общего п, достаточно показать, что tr W(А, А*) = tr W(B, B*) для всех слов степени не более

 [7]

Было высказано предположение, что это можно свести к выражению, линейному по п.[8]

Примечания

Рекомендации

  • Oković, Dragomir Ž .; Джонсон, Чарльз Р. (2007), «Единично достижимые нулевые шаблоны и следы слов в А и А*", Линейная алгебра и ее приложения, 421 (1): 63–68, Дои:10.1016 / j.laa.2006.03.002, ISSN  0024-3795.
  • Freedman, Allen R .; Гупта, Рам Нивас; Гуральник, Роберт М. (1997), "Теорема Ширшова и представления полугрупп", Тихоокеанский математический журнал, 181 (3): 159–176, Дои:10.2140 / pjm.1997.181.159, ISSN  0030-8730.
  • Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6.
  • Паппасена, Кристофер Дж. (1997), "Верхняя оценка длины конечномерной алгебры", Журнал алгебры, 197 (2): 535–545, Дои:10.1006 / jabr.1997.7140, ISSN  0021-8693.
  • Сибирский, К. С. (1976), Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. (на русском), Издат. "Штиинца", Кишинев.
  • Шпехт, Вильгельм (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 50: 19–23, ISSN  0012-0456.