Теорема Шпехта - Spechts theorem

В математике Теорема Шпехта дает необходимое и достаточное условие для двух матрицы быть унитарно эквивалентный. Он назван в честь Вильгельм Шпехт, который доказал теорему в 1940 году.^[1]

Две матрицы А и B как говорят унитарно эквивалентный если существует унитарная матрица U такой, что B = U *AU.^[2] Две унитарно эквивалентные матрицы также похожий. Две похожие матрицы представляют собой одинаковые линейная карта, но по отношению к другому основа; унитарная эквивалентность соответствует переходу от ортонормированный базис к другому ортонормированному базису.

Если А и B унитарно эквивалентны, то tr AA* = tr BB*, где tr обозначает след (другими словами, Норма Фробениуса - унитарный инвариант). Это следует из циклической инвариантности следа: если B = U *AU, то tr BB* = tr U *AUU *А*U = tr AUU *А*UU * = tr AA*, где второе равенство - циклическая инвариантность.^[3]

Таким образом, tr AA* = tr BB* - необходимое условие унитарной эквивалентности, но этого недостаточно. Теорема Шпехта дает бесконечно много необходимых условий, которые в совокупности также достаточны. В формулировке теоремы используется следующее определение. А слово в двух переменных, скажем Икс и у, является выражением формы

${\displaystyle W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

куда м₁, п₁, м₂, п₂, …, м_п неотрицательные целые числа. В степень этого слова

${\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.}$

Теорема Шпехта: Две матрицы А и B унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда tr W(А, А*) = tr W(B, B*) для всех слов W.^[4]

Теорема дает бесконечное число тождеств следов, но может быть сведено к конечному подмножеству. Позволять п обозначим размер матриц А и B. По делу п = 2, достаточно трех условий:^[5]

${\displaystyle \operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*}.}$

За п = 3, достаточно семи условий:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{3}=\operatorname {tr} \,B^{3},\\&\operatorname {tr} \,A^{2}A^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}B^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}}$  ^[6]

Для общего п, достаточно показать, что tr W(А, А*) = tr W(B, B*) для всех слов степени не более

${\displaystyle n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {n}{2}}-2.}$  ^[7]

Было высказано предположение, что это можно свести к выражению, линейному по п.^[8]

Примечания

1. Шпехт (1940)
2. Хорн и Джонсон (1985), Определение 2.2.1
3. Хорн и Джонсон (1985), Теорема 2.2.2
4. Хорн и Джонсон (1985), Теорема 2.2.6
5. Хорн и Джонсон (1985), Теорема 2.2.8
6. Сибирский (1976), п. 260, цитируется Джокович и Джонсон (2007)
7. Паппасена (1997), Теорема 4.3
8. Фридман, Гупта и Гуральник (1997), п. 160

Рекомендации

• Oković, Dragomir Ž .; Джонсон, Чарльз Р. (2007), «Единично достижимые нулевые шаблоны и следы слов в А и А*", Линейная алгебра и ее приложения, 421 (1): 63–68, Дои:10.1016 / j.laa.2006.03.002, ISSN  0024-3795.
• Freedman, Allen R .; Гупта, Рам Нивас; Гуральник, Роберт М. (1997), "Теорема Ширшова и представления полугрупп", Тихоокеанский математический журнал, 181 (3): 159–176, Дои:10.2140 / pjm.1997.181.159, ISSN  0030-8730.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6.
• Паппасена, Кристофер Дж. (1997), "Верхняя оценка длины конечномерной алгебры", Журнал алгебры, 197 (2): 535–545, Дои:10.1006 / jabr.1997.7140, ISSN  0021-8693.
• Сибирский, К. С. (1976), Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. (на русском), Издат. "Штиинца", Кишинев.
• Шпехт, Вильгельм (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 50: 19–23, ISSN  0012-0456.