Разреженная сетка - Sparse grid
Редкие сетки численные методы для представления, интегрирования или интерполяции высоких размерный функции. Первоначально они были разработаны русский математик Смоляк Сергей Александрович, студент Лазарь Люстерник, и основаны на построении разреженного тензорного произведения. Компьютерные алгоритмы для эффективной реализации таких сеток были позже разработаны Майкл Грибель и Кристоф Зенгер.
Проклятие размерности
Стандартный способ представления многомерных функций - тензорные или полные сетки. Количество базисных функций или узлов (точек сетки), которые необходимо сохранить и обработать. зависят экспоненциально по количеству габаритов. Даже с сегодняшней вычислительной мощностью невозможно обрабатывать функции с более чем 4 или 5 измерениями.
В проклятие размерности выражается в порядке ошибки интегрирования, составляющей квадратуру уровня , с участием точки. Функция имеет регулярность , т.е. является раз дифференцируемые. Количество измерений .
Квадратурное правило Смоляка
Смоляк нашел более эффективный в вычислительном отношении метод интегрирования многомерных функций, основанный на одномерном квадратурном правиле. . В -мерный интеграл Смоляка функции можно записать в виде формулы рекурсии с тензорное произведение.
Индекс к - уровень дискретизации. А интеграция на уровне вычисляется путем оценки точки. Оценка погрешности функции регулярности является:
использованная литература
- Структура данных с эффективным использованием памяти для регулярных разреженных сеток
- Код для генерации (и предварительно сгенерированных) узлов и весов для квадратуры
- Конечно-разностная схема на разреженных сетках
- Визуализация на разреженных сетках
- Датамайнинг на разреженных сетках, Дж. Гарке, М. Грибель (pdf)
- Йохен Гарке: "В двух словах о разреженных сетках" (pdf)
- Поль Константин: "Опыт работы с разреженными сетками и приближениями типа Смоляка" (pdf)
- Кристоф Зенгер: "Разреженные сетки" (pdf)
- Гарке, Йохен (ред.) И Грибель, Майкл (ред.): "Разреженные сетки и приложения", Springer, ISBN 978-3-642-31702-6 (2013).
- Дж. Брамм и С. Шайдеггер: "Использование адаптивных разреженных сеток для решения многомерных динамических моделей", (2013 г.) (pdf)
- «Квадратура на разреженных сетках»
Эта математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это. |