Постоянная квадратичной повторяемости Сомоса - Somos quadratic recurrence constant

В математика, Постоянная квадратичной повторяемости Сомоса, названный в честь Майкл Сомос, это номер

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1{\sqrt {2{\sqrt {3\cdots }}}}}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\cdots .\,}$

Это можно легко переписать в гораздо более быстро сходящееся представление продукта.

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{2}/\sigma =\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\cdots ,}$

который затем может быть компактно представлен в форме бесконечного произведения:

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{\frac {1}{2^{k}}}.}$

Константа σ возникает при изучении асимптотики последовательности

${\displaystyle g_{0}=1\,;\,g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n>1,\,}$

с первыми членами 1, 1, 2, 12, 576, 1658880 ... (последовательность A052129 в OEIS ). Можно показать, что эта последовательность имеет асимптотическое поведение следующим образом:^[1]

${\displaystyle g_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2^{n}}}{n+2+O({\frac {1}{n}})}}.}$

Гильера и Сондоу дают представление с точки зрения производная из Лерх трансцендентный:

${\displaystyle \ln \sigma ={\frac {-1}{2}}{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}\left({\frac {1}{2}},0,1\right)}$

где ln - это натуральный логарифм и ${\displaystyle \Phi }$(z, s, q) является трансцендентным Лерхом.

Ну наконец то,

${\displaystyle \sigma =1.661687949633594121296\dots \;}$ (последовательность A112302 в OEIS ).

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. "Квадратичная постоянная повторяемости Сомоса". MathWorld.

Рекомендации

• Стивен Р. Финч, Математические константы (2003), Издательство Кембриджского университета, п. 446. ISBN  0-521-81805-2.
• Хесус Гильера и Джонатан Сондоу, "Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение Трансцендентный Лерх ", Рамануджанский журнал 16 (2008), 247–270 (дает интегральное и рядовое представление). arXiv:математика / 0506319