Состояние излучения Зоммерфельда - Sommerfeld radiation condition

Арнольд Зоммерфельд определил условие излучения для скалярного поля, удовлетворяющего Уравнение Гельмгольца в качестве

«источники должны быть источниками, а не стоками энергии. Энергия, которая излучается из источников, должна рассеиваться в бесконечность; никакая энергия не может излучаться из бесконечности в ... поле».^[1]

Математически рассмотрим неоднородную Уравнение Гельмгольца

${displaystyle (abla ^{2}+k^{2})u=-f{mbox{ in }}mathbb {R} ^{n}}$

куда ${displaystyle n=2,3}$ это размерность пространства, ${displaystyle f}$ заданная функция с компактная опора представляющий ограниченный источник энергии, и ${displaystyle k>0}$ - константа, называемая волновое число. Решение ${displaystyle u}$ к этому уравнению называется излучающий если он удовлетворяет Состояние излучения Зоммерфельда

${displaystyle lim _{|x| o infty }|x|^{frac {n-1}{2}}left({frac {partial }{partial |x|}}-ikight)u(x)=0}$

равномерно по всем направлениям

${displaystyle {hat {x}}={frac {x}{|x|}}}$

(над, ${displaystyle i}$ это мнимая единица и ${displaystyle |cdot |}$ это Евклидова норма ). Здесь предполагается, что гармоническое по времени поле равно ${displaystyle e^{-iomega t}u.}$ Если вместо этого поле гармоники времени ${displaystyle e^{iomega t}u,}$ нужно заменить ${displaystyle -i}$ с ${displaystyle +i}$ в условиях излучения Зоммерфельда.

Условие излучения Зоммерфельда используется для однозначного решения уравнения Гельмгольца. Например, рассмотрим проблему излучения точечного источника. ${displaystyle x_{0}}$ в трех измерениях, поэтому функция ${displaystyle f}$ в уравнении Гельмгольца есть ${displaystyle f(x)=delta (x-x_{0}),}$ куда ${displaystyle delta }$ это Дельта-функция Дирака. Эта задача имеет бесконечное количество решений, например, любая функция вида

${displaystyle u=cu_{+}+(1-c)u_{-},}$

куда ${displaystyle c}$ константа, а

${displaystyle u_{pm }(x)={frac {e^{pm ik|x-x_{0}|}}{4pi |x-x_{0}|}}.}$

Из всех этих решений только ${displaystyle u_{+}}$ удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда и соответствует полю, исходящему от ${displaystyle x_{0}.}$ Остальные решения нефизичны. Например, ${displaystyle u_{-}}$ можно интерпретировать как энергию, исходящую из бесконечности и опускающуюся на ${displaystyle x_{0}.}$

Рекомендации

1. А. Зоммерфельд, Уравнения с частными производными в физике, Academic Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1949.

• Мартин, П. А (2006). Многократное рассеяние: взаимодействие гармонических волн с N препятствиями. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-86554-9.
• «Восемьдесят лет радиационного состояния Зоммерфельда», Стивен Х. Шот, Historia Mathematica 19, # 4 (ноябрь 1992 г.), стр. 385-401, Дои:10.1016 / 0315-0860 (92) 90004-У.

внешняя ссылка

• А.Г. Свешников (2001) [1994], «Радиационные условия», Энциклопедия математики, EMS Press