Гладкая проективная плоскость - Smooth projective plane

В геометрия, гладкие проективные плоскости особенные проективные плоскости. Наиболее ярким примером гладкой проективной плоскости является реальная проективная плоскость . Его геометрические операции соединения двух различных точек линией и пересечения двух прямых в точке не только непрерывны, но даже гладкий (бесконечно дифференцируемый ). Аналогично классические плоскости над сложные числа, то кватернионы, а октонионы гладкие плоскости. Однако это не единственные такие самолеты.

Определение и основные свойства

Гладкая проективная плоскость состоит из точечного пространства и пробел которые гладкие коллекторы и где геометрические операции соединения и пересечения гладкие.

Геометрические операции гладких плоскостей непрерывны; следовательно, каждая гладкая плоскость является компактный топологическая плоскость.[1] Гладкие плоскости существуют только с точечными пространствами размерности 2.м куда , поскольку это верно для компактных связных проективных топологических плоскостей.[2][3] Эти четыре случая будут рассмотрены отдельно ниже.

Теорема. Точечное многообразие гладкой проективной плоскости гомеоморфно своему классическому аналогу, как и линейное многообразие.[4]

Автоморфизмы

Автоморфизмы играют решающую роль в изучении гладких плоскостей. Биекция точечного множества проективной плоскости называется коллинеация, если он отображает линии на линии. Непрерывные коллинеации компактной проективной плоскости сформировать группу . Эта группа взята с топологией равномерное схождение. У нас есть:[5]

Теорема. Если является гладкой плоскостью, то каждая непрерывная коллинеация гладкий; другими словами, группа автоморфизмов гладкой плоскости совпадает с . Более того, является группой гладких преобразований Ли и из .

Группы автоморфизмов четырех классических плоскостей: простые группы Ли размерности 8, 16, 35 или 78 соответственно. Все остальные гладкие плоскости имеют группы гораздо меньшего размера. Смотри ниже.

Самолеты перевода

Проективная плоскость называется самолет перевода если его группа автоморфизмов имеет подгруппу, фиксирующую каждую точку на некоторой прямой и действует резко переходно по множеству точек не по .

Теорема. Каждая гладкая проективная плоскость трансляции изоморфна одной из четырех классических плоскостей.[6]

Это показывает, что существует много компактных связных топологических проективных плоскостей, которые не являются гладкими. С другой стороны, следующая конструкция дает настоящий аналитик недезарговские планы размерности 2, 4 и 8, с компактной группой автоморфизмов размерности 1, 4 и 13 соответственно:[7] обозначать точки и линии обычным способом однородные координаты над действительными или комплексными числами или кватернионы, скажем, векторами длины . Тогда падение точки и линия определяется , куда - фиксированный действительный параметр такой, что . Эти планы самодвойственны.

2-х мерные плоскости

Компактные двумерные проективные плоскости можно описать следующим образом: точечное пространство является компактным поверхность , каждая строка - это Кривая Иордании в (замкнутое подмножество, гомеоморфное окружности), и любые две различные точки соединяются единственной прямой. потом гомеоморфно точечному пространству реальной плоскости , любые две различные прямые пересекаются в единственной точке, и геометрические операции непрерывны (примените Salzmann et al. 1995 г., § 31 до дополнения к строке). Знакомую семью примеров дал Moulton в 1902 г.[8][9] Эти плоскости характеризуются тем, что имеют 4-мерную группу автоморфизмов. Они не изоморфны гладкой плоскости.[10] В более общем смысле, все неклассические компактные двумерные плоскости такой, что известны явно; ни один из них не является гладким:

Теорема. Если является гладкой двумерной плоскостью и если , тогда это классический реальный самолет .[11]

4-х мерные плоскости

Все компактные самолеты с 4-мерным точечным пространством и были засекречены.[12] С точностью до двойственности они либо являются плоскостями трансляции, либо изоморфны уникальной так называемой плоскости сдвига.[13] В соответствии с Бёди (1996, Гл. 10) эта плоскость сдвига не гладкая. Следовательно, результат на плоскостях трансляции подразумевает:

Теорема. Гладкая 4-мерная плоскость изоморфна классической комплексной плоскости, или .[14]

8-мерные плоскости

Компактный 8-мерный топологический самолеты обсуждались в Salzmann et al. (1995 г., Глава 8), а совсем недавно в Зальцманн (2014). Положить . Либо классическая плоскость кватернионов или . Если , тогда плоскость трансляции, или плоскость двойного трансляции, или плоскость Хьюза.[15] Последнюю можно охарактеризовать следующим образом: оставляет некоторую классическую сложную подплоскость инвариантен и индуцирует на связная компонента его полной группы автоморфизмов.[16][17] Самолеты Хьюза не гладкие.[18][19] Это дает результат, аналогичный случаю четырехмерных плоскостей:

Теорема. Если - гладкая 8-мерная плоскость, то классическая плоскость кватернионов или .

16-мерные плоскости

Позволять обозначим группу автоморфизмов компактной 16-мерной топологической проективной плоскости . Либо - гладкая классическая плоскость октониона или . Если , тогда исправляет строку и точка , а аффинная плоскость и его двойник - это плоскости трансляции.[20] Если , тогда также исправляет инцидентную пару точка-линия, но ни ни известны явно. Тем не менее ни одна из этих плоскостей не может быть гладкой:[21][22][23]

Теорема. Если является 16-мерной гладкой проективной плоскостью, то классическая плоскость октониона или .

Основная теорема

Последние четыре результата вместе дают следующую теорему:

Если это наибольшее значение , куда неклассический компакт 2м-размерный топологический проективная плоскость, то в любое время даже гладко.

Сложные аналитические плоскости

Условие комплексной аналитичности геометрических операций проективной плоскости является очень ограничительным. Фактически это выполняется только в классической комплексной плоскости.[24][25]

Теорема. Каждая комплексная аналитическая проективная плоскость изоморфна как аналитическая плоскость комплексной плоскости с ее стандартной аналитической структурой..

Примечания

  1. ^ Salzmann et al. 1995 г., 42.4
  2. ^ Левен, Р. (1983), "Топология и размерность стабильных плоскостей: по гипотезе Х. Фройденталя", J. Reine Angew. Математика., 343: 108–122
  3. ^ Salzmann et al. 1995 г., 54.11
  4. ^ Крамер, Л. (1994), "Топология гладких проективных плоскостей", Arch. Математика., 63: 85–91, Дои:10.1007 / bf01196303, S2CID  15480568
  5. ^ Боди, Р. (1998), «Коллинеации гладких устойчивых плоскостей», Forum Math., 10 (6): 751–773, Дои:10.1515 / form.10.6.751, S2CID  54504153
  6. ^ Отте, Дж. (1995), "Гладкие проекционные плоскости перевода", Геом. Dedicata, 58 (2): 203–212, Дои:10.1007 / bf01265639, S2CID  120238728
  7. ^ Иммерволл С. (2003), "Реальные аналитические проективные плоскости с большими группами автоморфизмов", Adv. Геом., 3 (2): 163–176, Дои:10.1515 / advg.2003.011
  8. ^ Моултон, Ф. Р. (1902), "Простая недезаргова плоская геометрия", Пер. Амер. Математика. Soc., 3 (2): 192–195, Дои:10.1090 / с0002-9947-1902-1500595-3
  9. ^ Salzmann et al. 1995 г., §34
  10. ^ Беттен, Д. (1971), "Двумерный дифференциальный проективный Эбенен", Arch. Математика., 22: 304–309, Дои:10.1007 / bf01222580, S2CID  119885473
  11. ^ Боди 1996, (9.1)
  12. ^ Salzmann et al. 1995 г., 74.27
  13. ^ Salzmann et al. 1995 г., §74
  14. ^ Боди 1996, (10.11)
  15. ^ Зальцманн 2014, 1.10
  16. ^ Salzmann et al. 1995 г., §86
  17. ^ Зальцманн, Х. (2003), "Подпланы Бэра", Иллинойс J. Math., 47 (1–2): 485–513, Дои:10.1215 / ijm / 1258488168 3.19
  18. ^ Боди, Р. (1999), "Гладкие плоскости Хьюза являются классическими", Arch. Математика., 73: 73–80, Дои:10.1007 / с000130050022, HDL:11475/3229, S2CID  120222293
  19. ^ Зальцманн 2014, 9.17
  20. ^ Salzmann et al. 1995 г., 87.7
  21. ^ Боди 1996, Гл. 12
  22. ^ Боди, Р. (1998), «16-мерные гладкие проективные плоскости с большими группами коллинеаций», Геом. Dedicata, 72 (3): 283–298, Дои:10.1023 / А: 1005020223604, S2CID  56094550
  23. ^ Зальцманн 2014, 9.18 набросок доказательства.
  24. ^ Брайтспречер, С. (1967), "Einzigkeit der reellen und der komplexen projektiven Ebene", Математика. Z., 99 (5): 429–432, Дои:10.1007 / bf01111021, S2CID  120984088
  25. ^ Salzmann et al. 1995 г., 75.1

Рекомендации