Теорема вложения Скорохода - Skorokhods embedding theorem

В математика и теория вероятности, Теорема вложения Скорохода один или оба из двух теоремы которые позволяют рассматривать любую подходящую коллекцию случайные переменные как Винеровский процесс (Броуновское движение ) оценивается в коллекции время остановки. Оба результата названы в честь украинец математик А. В. Скороход.

Первая теорема вложения Скорохода

Позволять Икс быть настоящий -значная случайная величина с ожидаемое значение 0 и конечный отклонение; позволять W обозначают канонический действительный винеровский процесс. Тогда есть время остановки (относительно естественного фильтрация из W), τ, так что W_τ имеет то же распределение, что и Икс,

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ]=\operatorname {E} [X^{2}]}$

и

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau ^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X^{4}].}$

Вторая теорема вложения Скорохода

Позволять Икс₁, Икс₂, ... быть последовательностью независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждый с математическим ожиданием 0 и конечной дисперсией, и пусть

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$

Тогда есть последовательность моментов остановки τ₁ ≤ τ₂ ≤ ... такие, что ${\displaystyle W_{\tau _{n}}}$ имеют такое же совместное распределение, что и частичные суммы S_п и τ₁, τ₂ − τ₁, τ₃ − τ₂, ... - независимые и одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие

${\displaystyle \operatorname {E} [\tau _{n}-\tau _{n-1}]=\operatorname {E} [X_{1}^{2}]}$

и

${\displaystyle \operatorname {E} [(\tau _{n}-\tau _{n-1})^{2}]\leq 4\operatorname {E} [X_{1}^{4}].}$

Рекомендации

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2. (Теоремы 37.6, 37.7)