Теорема Синкхорна - Sinkhorns theorem

Теорема Синкхорна заявляет, что каждый квадратная матрица с положительными записями можно записать в определенной стандартной форме.

Теорема

Если А является п × п матрица со строго положительными элементами, то существуют диагональные матрицы D₁ и D₂ со строго положительными диагональными элементами такими, что D₁ОБЪЯВЛЕНИЕ₂ является дважды стохастический. Матрицы D₁ и D₂ уникальны по модулю умножения первой матрицы на положительное число и деления второй на такое же число. ^[1][2]

Алгоритм Синкхорна-Кноппа

Простой итерационный метод приближения к двойной стохастической матрице - поочередное масштабирование всех строк и всех столбцов А в сумме получаем 1. Синхорн и Кнопп представили этот алгоритм и проанализировали его сходимость.^[3]

Аналоги и расширения

Справедлив и следующий аналог для унитарных матриц: для каждого унитарная матрица U существуют две диагональные унитарные матрицы L и р такой, что LUR сумма каждого столбца и строки равна 1.^[4]

Следующее расширение на отображения между матрицами также верно (см. Теорему 5^[5] а также теорему 4.7^[6]): учитывая Оператор Крауса который представляет собой квантовую операцию Φ, отображающую a матрица плотности в другой,

${\displaystyle S\to \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},}$

что сохраняет след,

${\displaystyle \sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,}$

и, кроме того, чей диапазон находится внутри положительно определенного конуса (строгая положительность), существуют скейлинги Икс_j, за j в {0,1}, которые являются положительно определенными, так что измененный масштаб Оператор Крауса

${\displaystyle S\to x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}}$

является дважды стохастическим. Другими словами, это так, что оба,

${\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,}$

а также для сопряженного,

${\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,}$

где I обозначает тождественный оператор.

Рекомендации

1. Синкхорн, Ричард. (1964). «Связь между произвольными положительными матрицами и дважды стохастическими матрицами». Анна. Математика. Статист. 35, 876–879. Дои:10.1214 / aoms / 1177703591
2. Маршалл А.В. и Олкин И. (1967). «Масштабирование матриц для достижения указанных сумм строк и столбцов». Numerische Mathematik. 12(1), 83–90. Дои:10.1007 / BF02170999
3. Синкхорн, Ричард, и Кнопп, Пол. (1967). «О неотрицательных и дважды стохастических матрицах». Pacific J. Math. 21, 343–348.
4. Идель, Мартин; Вольф, Майкл М. (2015). «Нормальная форма Синхорна для унитарных матриц». Линейная алгебра и ее приложения. 471: 76–84. arXiv:1408.5728. Дои:10.1016 / j.laa.2014.12.031.
5. Георгиу, Трифон; Павон, Микеле (2015). «Положительные сжимающие отображения для классических и квантовых систем Шредингера». Журнал математической физики. 56: 033301-1-24. arXiv:1405.6650. Bibcode:2015JMP .... 56c3301G. Дои:10.1063/1.4915289.
6. Гурвиц, Леонид (2004). «Классическая сложность и квантовая запутанность». Журнал вычислительной науки. 69: 448–484. Дои:10.1016 / j.jcss.2004.06.003.