Вторая ковариантная производная - Second covariant derivative

Смотрите также: Внешняя ковариантная производная

В математических разделах дифференциальная геометрия и векторное исчисление, то второй ковариантная производная, или ковариантная производная второго порядка, векторного поля - производная от его производной по двум другим касательный вектор поля.

Определение

Формально, учитывая (псевдо) -риманову многообразие (M, грамм) связанный с векторный набор E → M, пусть ∇ обозначает Леви-Чивита связь заданный метрикой грамм, и обозначим через Γ (E) пространство гладкий разделы общей площади E. Обозначим через Т^*M то котангенсный пучок из M. Тогда вторую ковариантную производную можно определить как сочинение из двух ∇ следующим образом: ^[1]

${\displaystyle \Gamma (E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E).}$

Например, данные векторные поля ты, v, ш, Второй ковариантная производная можно записать как

${\displaystyle (\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}}$

используя обозначение абстрактного индекса. Также несложно проверить, что

${\displaystyle (\nabla _{u}\nabla _{v}w)^{a}=u^{c}\nabla _{c}v^{b}\nabla _{b}w^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}+(u^{c}\nabla _{c}v^{b})\nabla _{b}w^{a}=(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}+(\nabla _{\nabla _{u}v}w)^{a}.}$

Таким образом

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w.}$

Когда тензор кручения равен нулю, так что ${\displaystyle [u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u}$, мы можем использовать этот факт, чтобы написать Тензор кривизны Римана в качестве ^[2]

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u,v}^{2}w-\nabla _{v,u}^{2}w.}$

Аналогичным образом можно получить вторую ковариантную производную функции ж в качестве

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}f=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{\nabla _{u}v}f.}$

Опять же, для связности Леви-Чивиты без кручения и для любых векторных полей ты и v, когда мы кормим функцию ж в обе стороны

${\displaystyle \nabla _{u}v-\nabla _{v}u=[u,v]}$

мы нашли

${\displaystyle (\nabla _{u}v-\nabla _{v}u)(f)=[u,v](f)=u(v(f))-v(u(f)).}$.

Это можно переписать как

${\displaystyle \nabla _{\nabla _{u}v}f-\nabla _{\nabla _{v}u}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{v}\nabla _{u}f,}$

так что у нас есть

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}f=\nabla _{v,u}^{2}f.}$

То есть значение второй ковариантной производной функции не зависит от порядка взятия производных.

Примечания

1. Паркер, Томас Х. «Праймер по геометрии» (PDF). Получено 2 января 2015., стр.7
2. Жан Галье и Дэн Гуральник. "Глава 13: Кривизна в римановых многообразиях" (PDF). Получено 2 января 2015.