Трюк Скотта - Scotts trick

В теория множеств, Уловка Скотта - это метод определения классов эквивалентности для отношений эквивалентности в собственном классе (Jech 2003: 65) путем ссылки на уровни совокупная иерархия.

Метод основан на аксиома регулярности но не на аксиома выбора. Его можно использовать для определения представителей для порядковые номера в ZF, Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (Forster 2003: 182). Метод был введен Дана Скотт  (1955 ).

Помимо проблемы определения представителей множества для порядковых чисел, уловка Скотта может быть использована для получения представителей для порядковых чисел. Количественные числительные и в более общем плане для типы изоморфизма, Например, типы заказов из линейно упорядоченные множества (Jech 2003: 65). Считается незаменимым (даже при наличии аксиомы выбора) при принятии сверхдержавы правильных классов в теория моделей. (Канамори 1994: 47)

Приложение к мощностям

Использование уловки Скотта для количественных чисел показывает, как обычно применяется этот метод. Первоначальное определение кардинального числа - это класс эквивалентности наборов, где два набора эквивалентны, если существует биекция между ними. Сложность состоит в том, что почти каждый класс эквивалентности этого отношения является правильный класс, и поэтому самими классами эквивалентности нельзя напрямую манипулировать в теориях множеств, таких как теория множеств Цермело – Френкеля, которые имеют дело только с множествами. В контексте теории множеств часто желательно иметь множества, которые являются представителями классов эквивалентности. Затем эти множества по определению считаются "кардинальными числами".

В теории множеств Цермело – Френкеля с аксиома выбора, один из способов присвоения представителей количественным числам состоит в том, чтобы связать каждое кардинальное число с наименьшим порядковым номером той же мощности. Эти специальные порядковые номера являются ℵ числа. Но если аксиома выбора не предполагается, для некоторых кардинальных чисел может оказаться невозможным найти такое порядковое число, и, таким образом, кардинальные числа этих множеств не имеют порядковых номеров в качестве представителей.

Уловка Скотта распределяет представителей по-разному, используя тот факт, что для каждого набора А есть минимум классифицировать γА в совокупная иерархия когда некоторый набор той же мощности, что и А появляется. Таким образом, можно определить представителя кардинального числа А быть множеством всех множеств ранга γА которые имеют ту же мощность, что и А. Это определение назначает представителя для каждого кардинального числа, даже если не каждый набор может быть хорошо упорядочен (предположение, эквивалентное аксиоме выбора). Это может быть выполнено в теории множеств Цермело – Френкеля, не используя аксиому выбора, но существенно используя аксиома регулярности.

Рекомендации

  • Томас Форстер (2003), Логика, индукция и множества, Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-53361-9
  • Томас Ех, Теория множеств, Изд. 3-го тысячелетия (пересмотренное), 2003 г., Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN  3-540-44085-2
  • Акихиро Канамори: Бесконечное Высшее. Большие кардиналы в теории множеств с самого начала., Перспективы математической логики. Springer-Verlag, Берлин, 1994. xxiv + 536 с.
  • Скотт, Дана (1955), «Абстракционные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF), Бюллетень Американского математического общества, 61 (5): 442, Дои:10.1090 / S0002-9904-1955-09941-5