Теорема Руше - Rouchés theorem

По поводу теоремы линейной алгебры см. Теорема Руше – Капелли.

Теорема Руше, названный в честь Эжен Руше, утверждает, что для любых двух сложный -ценный функции ж и грамм голоморфный в каком-то регионе ${\displaystyle K}$ с замкнутым контуром ${\displaystyle \partial K}$, если |грамм(z)| < |ж(z)| на ${\displaystyle \partial K}$, тогда ж и ж + грамм иметь одинаковое количество нулей внутри ${\displaystyle K}$, где каждый ноль считается столько раз, сколько его множественность. Эта теорема предполагает, что контур ${\displaystyle \partial K}$ простой, то есть без самопересечений. Теорема Руше является простым следствием более сильной симметричной теоремы Руше, описанной ниже.

использование

Теорема обычно используется для упрощения задачи поиска нулей следующим образом. Если дана аналитическая функция, мы записываем ее как сумму двух частей, одна из которых проще и растет быстрее, чем другая часть (таким образом, доминирует). Затем мы можем найти нули, глядя только на доминирующую часть. Например, полином ${\displaystyle z^{5}+3z^{3}+7}$ имеет ровно 5 нулей на диске ${\displaystyle |z|<2}$ поскольку ${\displaystyle |3z^{3}+7|\leq 31<32=|z^{5}|}$ для каждого ${\displaystyle |z|=2}$, и ${\displaystyle z^{5}}$, доминирующая часть, имеет на диске пять нулей.

Геометрическое объяснение

Поскольку расстояние между кривыми маленький, час(z) делает ровно один оборот, как и ж(z) делает.

Можно дать неформальное объяснение теоремы Руше.

Позволять C - замкнутая простая кривая (т. е. не самопересекающаяся). Позволять час(z) = ж(z) + грамм(z). Если ж и грамм оба голоморфны внутри C, тогда час также должен быть голоморфен внутри C. Тогда с учетом наложенных выше условий теорема Руша в ее первоначальной (а не симметричной) форме утверждает, что

Если |ж(z)| > |час(z) − ж(z) |, для каждого z в C, тогда ж и час иметь такое же количество нулей внутри C.

Обратите внимание, что условие |ж(z)| > |час(z) − ж(z) | означает, что для любого z, расстояние от ж(z) в начало координат больше, чем длина час(z) − ж(z), что на следующем рисунке означает, что для каждой точки синей кривой сегмент, соединяющий ее с началом координат, больше, чем связанный с ней зеленый сегмент. Неформально можно сказать, что синяя кривая ж(z) всегда ближе к красной кривой час(z), чем к источнику.

В предыдущем абзаце показано, что час(z) должен обернуться вокруг начала координат ровно столько раз, сколько ж(z). Таким образом, индекс обеих кривых около нуля одинаков, поэтому принцип аргумента, ж(z) и час(z) должно иметь одинаковое количество нулей внутри C.

Один популярный неформальный способ резюмировать этот аргумент заключается в следующем: если человек будет выгуливать собаку на поводке вокруг дерева и вокруг него, так что расстояние между человеком и деревом всегда больше, чем длина поводка, затем человек и собака обходят дерево одинаковое количество раз.

Приложения

Смотрите также: Свойства полиномиальных корней § Границы (комплексных) полиномиальных корней

Рассмотрим многочлен ${\displaystyle z^{2}+2az+b^{2}}$ (куда ${\displaystyle a>b>0}$). Посредством квадратичная формула у него два нуля на ${\displaystyle -a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$. Теорема Руше может быть использована для получения более точного их положения. С

${\displaystyle |z^{2}+b^{2}|\leq 2b^{2}<2a|z|}$ для каждого ${\displaystyle |z|=b}$,

Теорема Руше гласит, что многочлен имеет ровно один ноль внутри круга ${\displaystyle |z|<b}$. С ${\displaystyle -a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ явно вне диска, заключаем, что ноль равен ${\displaystyle -a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$. Этот вид аргументов может быть полезен при поиске остатков, когда применяется метод Коши. теорема о вычетах.

Теорема Руше также может быть использована для краткого доказательства основная теорема алгебры. Позволять

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},\quad a_{n}\neq 0}$

и выберите ${\displaystyle R>0}$ настолько большой, что:

${\displaystyle |a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|\leq \sum _{j=0}^{n-1}|a_{j}|R^{j}<|a_{n}|R^{n}=|a_{n}z^{n}|{\text{ for }}|z|=R.}$

С ${\displaystyle a_{n}z^{n}}$ имеет ${\displaystyle n}$ нули внутри диска ${\displaystyle |z|<R}$ (потому что ${\displaystyle R>0}$), из теоремы Руше следует, что ${\displaystyle p}$ также имеет такое же количество нулей внутри диска.

Одно из преимуществ этого доказательства перед другими состоит в том, что оно показывает не только то, что многочлен должен иметь ноль, но и количество его нулей равно его степени (с учетом, как обычно, кратности).

Еще одно применение теоремы Руше - доказательство теорема об открытом отображении для аналитических функций. Обратимся к статье за ​​доказательством.

Симметричная версия

Более сильная версия теоремы Руше была уже известна Теодор Эстерманн к 1962 г.^[1] В нем говорится: пусть ${\displaystyle K\subset G}$ - ограниченная область с непрерывной границей ${\displaystyle \partial K}$. Две голоморфные функции ${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {H}}(G)}$ имеют одинаковое количество корней (с учетом кратности) в ${\displaystyle K}$, если строгое неравенство

${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|\qquad \left(z\in \partial K\right)}$

держится на границе ${\displaystyle \partial K.}$

Исходная версия теоремы Руше следует из этой симметричной версии, примененной к функциям ${\displaystyle f+g,f}$ вместе с замечанием, что ${\displaystyle f(z)+g(z)\neq 0}$ когда ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle \partial K}$.

Интуитивно это утверждение можно понять следующим образом. ${\displaystyle -g}$ на месте ${\displaystyle g}$, условие можно переписать как ${\displaystyle |f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|}$ за ${\displaystyle z\in \partial K}$.С ${\displaystyle |f(z)+g(z)|\leq |f(z)|+|g(z)|}$ всегда выполняется по неравенству треугольника, это равносильно утверждению, что ${\displaystyle |f(z)+g(z)|\neq |f(z)|+|g(z)|}$ на ${\displaystyle \partial K}$, что следует из условия ${\displaystyle \arg {f(z)}\neq \arg {g(z)}}$.

Интуитивно понятно, если значения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ никогда не указывайте в том же направлении, что и ${\displaystyle z}$ кружит по ${\displaystyle \partial K}$, тогда ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ должен обернуться вокруг исходной точки одинаковое количество раз.

Доказательство симметричной формы теоремы Руше.

Позволять ${\displaystyle C\colon [0,1]\to \mathbb {C} }$ - простая замкнутая кривая, образ которой является границей ${\displaystyle \partial K}$. Гипотеза означает, что ж не имеет корней ${\displaystyle \partial K}$, следовательно, по принцип аргумента, номер N_ж(K) нулей ж в K является

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f\circ C}{\frac {dz}{z}}=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0),}$

т.е. номер намотки замкнутой кривой ${\displaystyle f\circ C}$ вокруг происхождения; аналогично для грамм. Гипотеза гарантирует, что грамм(z) не является отрицательным действительным кратным ж(z) для любого z = C(Икс), поэтому 0 не лежит на отрезке, соединяющем ж(C(Икс)) к грамм(C(Икс)), и

${\displaystyle H_{t}(x)=(1-t)f(C(x))+tg(C(x))}$

это гомотопия между кривыми ${\displaystyle f\circ C}$ и ${\displaystyle g\circ C}$ избегая происхождения. Число витков гомотопически инвариантно: функция

${\displaystyle I(t)=\mathrm {Ind} _{H_{t}}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{H_{t}}{\frac {dz}{z}}}$

является непрерывным и целочисленным, следовательно, постоянным. Это показывает

${\displaystyle N_{f}(K)=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0)=\mathrm {Ind} _{g\circ C}(0)=N_{g}(K).}$

Смотрите также

• Основная теорема алгебры, для его кратчайшей демонстрации, используя теорему Руше
• Теорема Гурвица (комплексный анализ)
• Теорема о рациональном корне
• Свойства полиномиальных корней
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Штурма

Примечания

1. Эстерманн, Т. (1962). Комплексные числа и функции. Атлон Пресс, Univ. Лондона. п. 156.

Рекомендации

• Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии. Джон Уайли и сыновья. п. 131. ISBN  0-471-99672-6.
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I. Springer-Verlag New York. ISBN  978-0-387-90328-6.
• Титчмарш, Э. (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр.117 –119, 198–203. ISBN  0-19-853349-7.
• Руше Э., Mémoire sur la série de Lagrange, Journal de l'École Polytechnique, том 22, 1862 г., стр. 193-224. Теорема появляется на стр. 217. См. Gallica архивы.