Теорема типа Римана – Роха. - Riemann–Roch-type theorem

В алгебраической геометрии существуют различные обобщения Теорема Римана – Роха; среди самых известных Теорема Гротендика – Римана – Роха., который далее обобщается формулировкой Fulton et al.

Формула Баума, Фултона и Макферсона

Позволять ${\displaystyle G_{*}}$ и ${\displaystyle A_{*}}$ быть функторами в категории C разделенных и локально конечных схем над базовым полем k с правильные морфизмы такой, что

• ${\displaystyle G_{*}(X)}$ это Группа Гротендик из когерентные пучки на Икс,
• ${\displaystyle A_{*}(X)}$ рациональный Группа чау изИкс,
• для каждого собственного морфизма ж, ${\displaystyle G_{*}(f),A_{*}(f)}$ прямые изображения (или продвижение вперед) вдоль ж.

Кроме того, если ${\displaystyle f:X\to Y}$ является (глобальным) локальный морфизм полного пересечения; т.е. факторизуется как замкнутое регулярное вложение ${\displaystyle X\hookrightarrow P}$ в гладкую схему п с последующим гладким морфизмом ${\displaystyle P\to Y}$, тогда пусть

${\displaystyle T_{f}=[T_{P/Y}|_{X}]-[N_{X/P}]}$

- класс в группе Гротендика векторных расслоений на Икс; он не зависит от факторизации и называется виртуальный касательный пучок изж.

Тогда теорема Римана – Роха сводится к построению единственного естественная трансформация:^[1]

${\displaystyle \tau :G_{*}\to A_{*}}$

между двумя функторами так, что для каждой схемы Икс в C, гомоморфизм ${\displaystyle \tau _{X}:G(X)\to A(X)}$ удовлетворяет: для локального морфизма полного пересечения ${\displaystyle f:X\to Y}$, когда есть закрытые вложения ${\displaystyle X\subset M,Y\subset P}$ в гладкие схемы,

${\displaystyle \tau _{X}f^{*}=\operatorname {td} (T_{f})\cdot f^{*}\tau _{Y}}$

куда ${\displaystyle \operatorname {td} }$ относится к Тодд класс.

Более того, он обладает свойствами:

• ${\displaystyle \tau _{X}(\beta \otimes \alpha )=\operatorname {ch} (\beta )\tau (\alpha )}$ для каждого ${\displaystyle \alpha \in G_{*}(X)}$ и Черн класс ${\displaystyle \operatorname {ch} (\beta )}$ (или его действие) ${\displaystyle \beta }$ в группе Гротендика векторных расслоений на Икс.
• Это Икс замкнутая подсхема гладкой схемы M, то теорема является (грубо) ограничением теоремы в гладком случае и может быть записана в терминах локализованный класс Черна.

Эквивариантная теорема Римана – Роха.

Для комплексных чисел теорема является (или может быть интерпретирована как) частным случаем эквивариантная теорема об индексе.

Теорема Римана – Роха для стеков Делиня – Мамфорда.

Помимо алгебраических пространств, для стеков невозможно прямое обобщение. Осложнение уже появляется в случае орбифолда (Риман – Рох от Кавасаки ).

Эквивариантная теорема Римана – Роха для конечных групп во многих ситуациях эквивалентна теореме Римана – Роха для конечных групп. частные стеки конечными группами.

Одно из важных приложений теоремы состоит в том, что она позволяет определить виртуальный фундаментальный класс с точки зрения K-теоретический виртуальный фундаментальный класс.

Примечания

1. Фултон, Теорема 18.3. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

Рекомендации

• Эдидин, Дэн (21.05.2012). "Риман-Рох для стеков Делин-Мамфорд". arXiv:1205.4742 [math.AG ].
• Уильям Фултон (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Тоен, Б. (1998-03-17). "Теоремы Римана-Роха для стеков Делиня-Мамфорда". arXiv:математика / 9803076.
• Бертран, Тоэн (1999-08-18). «K-теория и когомологии алгебраических стеков: теоремы Римана-Роха, D-модули и теоремы GAGA». arXiv:математика / 9908097.
• Лоури, Паркер; Шюрг, Тимо (30 августа 2012 г.). «Гротендик-Риман-Рох для производных схем». arXiv:1208.6325 [math.AG ].
• Вакиль, Math 245A Темы алгебраической геометрии: Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии

Смотрите также

• Формула Римана – Роха Кавасаки

внешняя ссылка

• https://mathoverflow.net/questions/25218/why-is-riemann-roch-for-stacks-so-hard