Скаляры Риччи (формализм Ньюмана – Пенроуза) - Ricci scalars (Newman–Penrose formalism)

в Формализм Ньюмана – Пенроуза (НП) из общая теория относительности, независимые компоненты Тензоры Риччи четырехмерного пространство-время закодированы в семь (или десять) Скаляры Риччи которые состоят из трех реальных скаляры ${\displaystyle \{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}}$, три (или шесть) комплексных скаляров ${\displaystyle \{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10}\,,\Phi _{02}={\overline {\Phi }}_{20}\,,\Phi _{12}={\overline {\Phi }}_{21}\}}$ и скаляр кривизны NP ${\displaystyle \Lambda }$. Физически скаляры Риччи-НП связаны с распределением энергии-импульса пространства-времени из-за Уравнение поля Эйнштейна.

Определения

Учитывая сложную нулевую тетраду ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ и с условием ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$, скаляры Риччи-NP определяются как^[1][2][3] (где надстрочный знак означает комплексно сопряженный )

${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;}$

${\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{01}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{02}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.}$

Замечание I. В этих определениях ${\displaystyle R_{ab}}$ может быть заменен его бесследный часть ${\displaystyle Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R}$^[2] или Тензор Эйнштейна ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R}$ из-за отношений нормализации (т.е. внутреннего продукта), которые

${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,}$

${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,.}$

Замечание II: Специально для электровакуум, у нас есть ${\displaystyle \Lambda =0}$, таким образом

${\displaystyle 24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a}{\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,,}$

и поэтому ${\displaystyle \Phi _{11}}$ сводится к

${\displaystyle \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,.}$

Замечание III: Если принять соглашение ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$, определения ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ должны принимать противоположные значения;^[4][5][6][7] то есть, ${\displaystyle \Phi _{ij}\mapsto -\Phi _{ij}}$ после перехода подписи.

Альтернативные производные

Смотрите также: Формализм Ньюмана – Пенроуза § Полевые уравнения NP, и Уравнения поля Ньюмана – Пенроуза.

Согласно приведенным выше определениям, следует выяснить Тензоры Риччи перед вычислением скаляров Риччи-НП посредством сжатия с соответствующими тетрадными векторами. Однако этот метод не в полной мере отражает дух формализма Ньюмана – Пенроуза, и в качестве альтернативы можно было бы вычислить спиновые коэффициенты а затем вывести скаляры Риччи-NP ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ через соответствующие Полевые уравнения NP который^[2][7]

${\displaystyle \Phi _{00}=D\rho -{\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,,}$

${\displaystyle \Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,}$

${\displaystyle \Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu }}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{20}=D\lambda -{\bar {\delta }}\pi -(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )-\pi ^{2}-(\alpha -{\bar {\beta }})\pi +\nu {\bar {\kappa }}+(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda \,,}$

${\displaystyle \Phi _{12}=\delta \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,}$

${\displaystyle 2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi }})\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,}$

а скаляр кривизны NP ${\displaystyle \Lambda }$ можно напрямую и легко рассчитать через ${\displaystyle \Lambda ={\frac {R}{24}}}$ с ${\displaystyle R}$ быть обычным скалярная кривизна метрики пространства-времени ${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}}$.

Электромагнитные скаляры Риччи-НП

Согласно определениям скаляров Риччи-NP ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ выше и тот факт, что ${\displaystyle R_{ab}}$ можно заменить на ${\displaystyle G_{ab}}$ в определениях, ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ связаны с распределением энергии-импульса из-за полевых уравнений Эйнштейна ${\displaystyle G_{ab}=8\pi T_{ab}}$. В простейшей ситуации - вакуумное пространство-время при отсутствии полей материи с ${\displaystyle T_{ab}=0}$, у нас будет ${\displaystyle \Phi _{ij}=0}$. Более того, для электромагнитного поля, в дополнение к вышеупомянутым определениям, ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ может быть определено более конкретно^[1]

${\displaystyle \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,}$

куда ${\displaystyle \phi _{i}}$ обозначим три комплексных скаляра Максвелла-NP^[1] которые кодируют шесть независимых компонентов 2-формы Фарадея-Максвелла ${\displaystyle F_{ab}}$ (т.е. тензор напряженности электромагнитного поля )

${\displaystyle \phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.}$

Замечание: Уравнение ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}}$ для электромагнитного поля, однако, не обязательно верно для других видов полей материи. Например, в случае полей Янга – Миллса будет ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})}$ куда ${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})}$ являются скалярами Янга – Миллса-НП.^[8]

Смотрите также

• Формализм Ньюмана – Пенроуза
• Скаляр Вейля

Рекомендации

1. Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольский. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Глава 2.
2. Валерий П. Фролов, Игорь Д Новиков. Физика черной дыры: основные концепции и новые разработки. Берлин: Springer, 1998. Приложение E.
3. Абхай Аштекар, Стивен Фэрхерст, Бадри Кришнан. Изолированные горизонты: гамильтонова эволюция и первый закон. Physical Review D, 2000 г., 62(10): 104025. Приложение B. gr-qc / 0005083
4. Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов. Журнал математической физики, 1962 г., 3(3): 566-768.
5. Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Errata: подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов. Журнал математической физики, 1963 г., 4(7): 998.
6. Субраманян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. Чикаго: Университет Чикаго Пресс, 1983.
7. Питер О'Доннелл. Введение в 2-спиноры в общей теории относительности. Сингапур: World Scientific, 2003.
8. E. Т. Ньюман, К. П. Тод. Асимптотически плоское пространство-время, Приложение A.2. In A Held (редактор): Общая теория относительности и гравитации: сто лет спустя после рождения Альберта Эйнштейна. Том (2), стр. 27. Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press, 1980.