Резонансы при рассеянии на потенциалах - Resonances in scattering from potentials

В квантовая механика, резонанс происходит в контексте теория рассеяния, который занимается изучением рассеяния квантовых частиц на потенциалах. В проблема рассеяния занимается вычислением распределения потока рассеянных частиц / волн как функции потенциала и состояния (характеризуемого импульсом / энергией) падающей частицы. Для свободной квантовой частицы, падающей на потенциал, плоское волновое решение не зависящего от времени Уравнение Шредингера является :

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}}$

Для одномерных задач нас интересует коэффициент передачи ${\displaystyle T}$, определяется как :

${\displaystyle T={\frac {|{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }|}{|{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }|}}}$

где ${\displaystyle {\vec {J}}}$ - плотность тока вероятности. Это дает долю падающего пучка частиц, которая проходит через потенциал. Для трехмерных задач мы вычисляем сечение рассеяния ${\displaystyle \sigma }$, которая, грубо говоря, представляет собой общую площадь рассеянного падающего луча. Еще одна важная величина - это частичное сечение, ${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$, обозначающее сечение рассеяния парциальной волны с определенным собственным состоянием углового момента. Эти величины естественно зависят от ${\displaystyle {\vec {k}}}$, волновой вектор падающей волны, который связан с ее энергией соотношением:

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}|{\vec {k}}|^{2}}{2m}}}$

Значения этих интересующих величин, коэффициент передачи ${\displaystyle T}$ (в случае одномерных потенциалов), а парциальное сечение ${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$ показывают пики в их изменении с падающей энергией E. Эти явления называются резонансами.

Одномерный случай: конечный квадрат потенциала

Математическое описание

Одномерный конечный квадратный потенциал дан кем-то

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$

Знак ${\displaystyle V_{0}}$ определяет, является ли квадратный потенциал хорошо или барьер. Чтобы изучить явления резонанса, мы решаем стационарное состояние с энергией ${\displaystyle E>V_{0}}$ Решение не зависящего от времени Уравнение Шредингера:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }$

для трех регионов ${\displaystyle x<0,0<x<L,x>L}$ находятся

${\displaystyle \psi _{1}(x)={\begin{cases}A_{1}e^{ik_{1}x}+B_{1}e^{-ik_{1}x},&x<0,\\A_{2}e^{ik_{2}x}+B_{2}e^{-ik_{2}x},&0<x<L,\\A_{3}e^{ik_{1}x}+B_{3}e^{-ik_{1}x},&x>L,\end{cases}}}$

${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ - волновые числа в беспотенциальной области и внутри потенциала соответственно,

${\displaystyle k_{1}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$

${\displaystyle k_{2}={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }},}$

Вычислять ${\displaystyle T}$, мы установили ${\displaystyle B_{3}=0}$ соответствовать тому, что на потенциал справа нет волны. Ставя условие, что волновая функция ${\displaystyle \psi (x)}$, и его производная ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}}$ должен быть непрерывным на ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=L}$, находим отношения между коэффициентами, что позволяет найти ${\displaystyle T}$ так как

${\displaystyle T={\frac {|A_{3}|^{2}}{|A_{1}|^{2}}}={\frac {4E(E-V_{0})}{4E(E-V_{0})+V_{0}^{2}\sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]}}}$

Мы видим, что коэффициент передачи ${\displaystyle T}$ достигает своего максимального значения 1, когда:

${\displaystyle \sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]=0{\text{,or }}k_{2}={\frac {n\pi }{L}}}$.

Это условие резонанса, что приводит к пику ${\displaystyle T}$ до максимума, называемого резонанс.

Физическая картина: стоячие волны де Бройля и эталон Фабри-Перо

Из приведенного выше выражения резонанс возникает, когда расстояние, которое частица преодолевает при прохождении ямы и обратно (${\displaystyle 2L}$) является целым кратным Де Бройль длина волны частицы внутри потенциала (${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$). Для ${\displaystyle E>V_{0}}$, отражения на разрывах потенциала не сопровождаются изменением фазы.^[1] Следовательно, резонансы соответствуют образованию стоячих волн внутри потенциального барьера / ямы. В резонансе волны, падающие на потенциал при ${\displaystyle x=0}$ а волны, отражающиеся между стенками потенциала, находятся в фазе и усиливают друг друга. Вдали от резонансов не могут образоваться стоячие волны. Тогда волны, отражаясь между обеими стенками потенциала (при ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=L}$) и волна, прошедшая через ${\displaystyle x=0}$ не совпадают по фазе и разрушают друг друга помехами. Физика аналогична передаче в Интерферометр Фабри – Перо в оптике, где условие резонанса и функциональная форма коэффициента передачи совпадают.

График коэффициента передачи в зависимости от (E / V₀) для коэффициента формы 30

График коэффициента передачи в зависимости от (E / V₀) для коэффициента формы 13

Природа резонансных кривых

В зависимости от длины квадратного колодца (${\displaystyle L}$) коэффициент передачи колеблется между максимальным значением 1 и минимальным значением ${\displaystyle \left[1+{\frac {V_{0}^{2}}{4E(E-V_{0})}}\right]^{-1}}$, с периодом ${\displaystyle {\frac {\pi }{k_{2}}}}$. Как функция энергии первый член в знаменателе преобладает над осциллирующим членом для ${\displaystyle E>>V_{0}}$ и поэтому, ${\displaystyle T\rightarrow 1}$. Более резкие резонансы возникают при более низких энергиях, когда осциллирующий член в знаменателе контролирует поведение ${\displaystyle T}$. Резонансы становятся плоскими при более высоких энергиях, потому что минимумы ${\displaystyle T}$ становиться выше с ${\displaystyle E}$ так как влияние колебательного члена в знаменателе уменьшается. Это демонстрируется на графиках зависимости коэффициента пропускания от энергии падающих частиц для фиксированных значений коэффициента формы, определяемого как ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2mV_{0}L^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$

1. Клод Коэн-Таннауджи, Бернанр Диу, Франк Лало. (1992), Квантовая механика (Том 1), Wiley-VCH, стр.73

использованная литература

• Мерцбахер Евгений. Квантовая механика. Джон Уайли и сыновья.
• Коэн-Таннуджи Клод. Квантовая механика. Wiley-VCH.