Фильтр с приподнятым косинусом - Raised-cosine filter

В фильтр с приподнятым косинусом это фильтр часто используется для формирование импульсов в цифровом модуляция из-за его способности минимизировать межсимвольная интерференция (ISI). Его название связано с тем, что ненулевая часть частотный спектр своей простейшей формы (${\displaystyle \beta =1}$) это косинус функция, "приподнятая", чтобы сидеть над ${\displaystyle f}$ (Горизонтальная ось.

Математическое описание

Амплитудно-частотная характеристика фильтра с приподнятым косинусом с различными коэффициентами спада

Импульсная характеристика фильтра с приподнятым косинусом с различными коэффициентами спада

Фильтр с приподнятым косинусом - это реализация фильтра нижних частот. Фильтр Найквиста, т.е. обладающая свойством рудиментарной симметрии. Это означает, что в его спектре наблюдаются нечетные симметрия о ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$, куда ${\displaystyle T}$ символ-период коммуникационной системы.

Его описание в частотной области - это кусочно -определенный функция, предоставленный:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

или с точки зрения гаверкозины:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

за

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

и характеризуется двумя ценностями; ${\displaystyle \beta }$, то коэффициент спада, и ${\displaystyle T}$, величина, обратная символьной скорости.

В импульсивный ответ такого фильтра^[1] дан кем-то:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

в терминах нормализованного функция sinc. Вот это "коммуникационный грех" ${\displaystyle sin(\pi x)/(\pi x)}$ а не математический.

Фактор спада

В скатывание фактор ${\displaystyle \beta }$, является мерой избыточная пропускная способность фильтра, т.е.полоса, занимаемая за пределами полосы Найквиста ${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$. Некоторые авторы используют ${\displaystyle \alpha =\beta }$.^[2]

Если обозначить избыточную пропускную способность как ${\displaystyle \Delta f}$, тогда:

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

куда ${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$ это символьная скорость.

График показывает амплитудный отклик как ${\displaystyle \beta }$ варьируется от 0 до 1, и соответствующее влияние на импульсивный ответ. Как видно, уровень пульсаций во временной области увеличивается по мере увеличения ${\displaystyle \beta }$ уменьшается. Это показывает, что лишнюю полосу пропускания фильтра можно уменьшить, но только за счет удлиненной импульсной характеристики.

${\displaystyle \beta =0}$

В качестве ${\displaystyle \beta }$ приближается к 0, зона спада становится бесконечно узкой, следовательно:

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

куда ${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$ это прямоугольная функция, поэтому импульсная характеристика приближается ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$. Следовательно, он сходится к идеалу или кирпичный фильтр в этом случае.

${\displaystyle \beta =1}$

Когда ${\displaystyle \beta =1}$, ненулевая часть спектра представляет собой чистый приподнятый косинус, что приводит к упрощению:

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

или же

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Пропускная способность

Полоса пропускания фильтра с приподнятым косинусом чаще всего определяется как ширина ненулевой положительной по частоте части его спектра, то есть:

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Функция автокорреляции

В автокорреляция Функция приподнятого косинуса выглядит следующим образом:

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

Результат автокорреляции можно использовать для анализа различных результатов смещения выборки при анализе с автокорреляцией.

Заявление

Последовательные импульсы с приподнятым косинусом, демонстрирующие свойство нулевого ISI

При использовании для фильтрации потока символов фильтр Найквиста имеет свойство устранять ISI, поскольку его импульсная характеристика вообще равна нулю. ${\displaystyle nT}$ (куда ${\displaystyle n}$ является целым числом), кроме ${\displaystyle n=0}$.

Следовательно, если переданная форма сигнала правильно выбрана в приемнике, исходные значения символов могут быть полностью восстановлены.

Однако во многих практических системах связи согласованный фильтр используется в приемнике из-за воздействия белый шум. Для нулевого ISI это сеть отклик фильтров передачи и приема, которые должны быть равны ${\displaystyle H(f)}$:

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

И поэтому:

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

Эти фильтры называются корень-приподнятый косинус фильтры.

Повышенный косинус обычно используется аподизация фильтр для волоконные решетки Брэгга.

Рекомендации

1. Майкл Золтовски - Уравнения для форм приподнятого косинуса и квадратного корня
2. de: Фильтр с приподнятым косинусом Немецкая версия фильтра с повышенным косинусом

• Гловер, I .; Грант, П. (2004). Цифровые коммуникации (2-е изд.). Pearson Education Ltd. ISBN  0-13-089399-4.
• Проакис, Дж. (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). McGraw-Hill Inc. ISBN  0-07-113814-5.
• Tavares, L.M .; Таварес Г.Н. (1998) Комментарии к "Производительности асинхронных систем DS / SSMA с ограниченной полосой пропускания" . IEICE Trans. Commun., Vol. Е81-Б, №9

внешняя ссылка

• Техническая статья "Уход за цифровыми импульсными фильтрами и их питание" первоначально опубликовано в RF дизайн, написанный Кеном Джентиле.