В математика, то четырехместный продукт продукт четырех векторов в трехмерном Евклидово пространство. Название «четверной продукт» используется для двух разных продуктов,[1] скалярное значение скалярное четверное произведение и векторнозначная векторное четырехкратное произведение или векторное произведение четырех векторов .
Скалярное четверное произведение
В скалярное четверное произведение определяется как скалярное произведение из двух перекрестные продукты:

куда а, б, в, г - векторы в трехмерном евклидовом пространстве.[2] Его можно оценить с помощью идентификатора:[2]

или используя детерминант:

Вектор четырехкратное произведение
В вектор четырехкратное произведение определяется как перекрестное произведение двух перекрестных произведений:

куда а, б, в, г - векторы в трехмерном евклидовом пространстве.[3] Его можно оценить с помощью идентификатора:[4]
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { times}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) = [{ mathbf {a, b, d}}] { mathbf c} - [{ mathbf {a, b, c}}] { mathbf d} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e41e3db9c5e3a2fb2030f9822ab0af1f24ad91)
Это удостоверение также можно записать с помощью тензор обозначения и Суммирование Эйнштейна соглашение следующим образом:

используя обозначения для тройное произведение:
![[{ mathbf {a, b, d}}] = ({ mathbf {a times b}}) { mathbf { cdot d}} = { begin {vmatrix} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf i}}} & { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf i}}} и { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf i}}} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf j}}} и { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf j}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf j}}} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf k}}} и { mathbf {b cdot }} { hat {{ mathbf k}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf k}}} end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf i}}} & { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf j}}} & { mathbf {a cdot}} { шляпа {{ mathbf k}}} { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf i}}} и { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf j} }} & { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf k}}} { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf i}}} и { mathbf { d cdot}} { hat {{ mathbf j}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf k}}} end {vmatrix}} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5130be70093245e5bc521cbb5a7429259594fd9d)
где две последние формы являются определителями с
обозначающие единичные векторы вдоль трех взаимно ортогональных направлений.
Эквивалентные формы можно получить по удостоверению:[5]
![[{ mathbf {b, c, d}}] { mathbf a} - [{ mathbf {c, d, a}}] { mathbf b} + [{ mathbf {d, a, b}}] { mathbf {c}} - [{ mathbf {a, b, c}}] { mathbf d} = 0 .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aab120a97d92e8ffd4c390fc8be37ebdf564021)
Заявление
Счетверенные произведения полезны для вывода различных формул в сферической и плоской геометрии.[3] Например, если на единичной сфере выбраны четыре точки, А, Б, В, D, и единичные векторы, проведенные из центра сферы к четырем точкам, а, б, в, г соответственно тождество:

в сочетании с соотношением для величины перекрестного произведения:

и скалярное произведение:

куда а = б = 1 для единичной сферы, приводит к тождеству углов, приписываемых Гауссу:

куда Икс угол между а × б и c × dили, что то же самое, между плоскостями, определяемыми этими векторами.
Джозайя Уиллард Гиббс Новаторская работа по векторному исчислению дает еще несколько примеров.[3]
Примечания
Рекомендации
Смотрите также