Проективное расслоение - Projective bundle

В математика, а проективный пучок это пучок волокон чьи волокна проективные пространства.

По определению схема Икс по нётеровой схеме S это п^п-бандл, если он локально проективный п-Космос; т.е. ${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$ и переходные автоморфизмы линейны. По обычной схеме S например, гладкий сорт, каждое проективное расслоение имеет вид ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ для некоторого векторного расслоения (локально свободного пучка) E.^[1]

Проективное расслоение векторного расслоения

Каждый векторный набор через разнообразие Икс дает проективное расслоение, взяв проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: существует препятствие в группа когомологий ЧАС²(Икс, О *).^{[требуется разъяснение ]} В частности, если Икс компактная риманова поверхность, препятствие обращается в нуль, т.е. ЧАС²(Икс, О *) = 0.

Проективное расслоение векторного расслоения E то же самое, что и Расслоение Грассмана ${\displaystyle G_{1}(E)}$ 1-самолетов в E.

Проективное расслоение п(E) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит:^[2]

Учитывая морфизм ж: Т → Икс, разложить на множители ж через карту проекции п: п(E) → Икс - указать подгруппу строк ж^*E.

Например, взяв ж быть п, получается подгруппа строк О(-1) из п^*E, называется пучок тавтологических линий на п(E). Более того, это О(-1) - это универсальный комплект в том смысле, что когда линейный пучок L дает факторизацию ж = п ∘ грамм, L это откат О(-1) вместе грамм. Смотрите также Конус #О(1) для более явного построения О(-1).

На п(E) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

куда Q называется тавтологическим фактор-расслоением.

Позволять E ⊂ F - векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на Икс и грамм = F/E. Позволять q: п(F) → Икс быть проекцией. Тогда естественная карта О(-1) → q^*F → q^*грамм это глобальный раздел связка хом Hom (О(-1), q^*G) = q^* грамм ⊗ О(1). Более того, это естественное отображение исчезает в точке точно тогда, когда точка является линией в E; другими словами, геометрическое место нуля этого раздела п(E).

Особенно полезный пример этой конструкции - когда F прямая сумма E ⊕ 1 из E и тривиальное линейное расслоение (т. е. структурный пучок). потом п(E) является гиперплоскостью в п(E ⊕ 1), называемая гиперплоскостью на бесконечности, и дополнением к п(E) можно отождествить с E. Таким образом, п(E ⊕ 1) называется проективным завершением (или «компактификацией») E.

Проективное расслоение п(E) устойчив к скручиванию E линейной связкой; точно, учитывая линейный пучок L, существует естественный изоморфизм:

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

такой, что ${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$^[3] (Фактически, получается грамм универсальным свойством, примененным к линейному пучку справа.)

Примеры

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ Такие как Расслоения Лефшеца. Например, эллиптический K3 поверхность ${\displaystyle X}$ является поверхностью K3 с расслоением

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

так что волокна ${\displaystyle E_{p}}$ за ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$ в общем случае являются эллиптическими кривыми. Поскольку каждая эллиптическая кривая является кривой рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Из-за этого глобального раздела существует модель ${\displaystyle X}$ дающий морфизм проективному расслоению^[4]

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}(6)_{\mathbb {P} ^{1}}\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

определяется Уравнение Вейерштрасса

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

куда ${\displaystyle x,y,z}$ представляют локальные координаты ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}(6)_{\mathbb {P} ^{1}},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$соответственно, а коэффициенты

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

секции связки на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$. Обратите внимание, что это уравнение хорошо определено, потому что каждый член в уравнении Вейерштрауса имеет общую степень ${\displaystyle 12}$ (означает степень коэффициента плюс степень монома. Например, ${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$).

Кольцо когомологий и группа Чоу

Позволять Икс - комплексное гладкое проективное многообразие и E комплексное векторное расслоение ранга р в теме. Позволять п: п(E) → Икс - проективное расслоение E. Затем кольцо когомологий ЧАС^*(п(E)) является алгебра над ЧАС^*(Икс) через откат п^*. Тогда первый Черн класс ζ = c₁(О(1)) порождает H^*(п(E)) с соотношением

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

куда c_я(E) это я-й класс Черна E. Одна интересная особенность этого описания заключается в том, что можно определять Классы Черна как коэффициенты в отношении; это подход, принятый Гротендиком.

Для полей, отличных от сложного поля, то же описание остается верным с Кольцо для чау-чау вместо кольца когомологий (все еще предполагая Икс гладкая). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

Как оказалось, это разложение остается в силе, даже если Икс не является гладким или проективным.^[5] В отличие, А_k(E) = А_k-р(Икс) через Гомоморфизм Гизина, морально потому, что волокна E, векторные пространства стягиваемы.

Смотрите также

• Строительство проекта
• конус (алгебраическая геометрия)
• линейчатая поверхность (пример проективного расслоения)
• Сорт Севери – Брауэра
• Поверхность Хирцебруха

Рекомендации

1. Hartshorne, Гл. II, упражнение 7.10. (с). ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)
2. Hartshorne, Гл. II, предложение 7.12. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)
3. Hartshorne, Гл. II, лемма 7.9. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHartshorne (помощь)
4. Пропп, Орон Ю. (22.05.2019). «Построение явных К3-спектров». arXiv:1810.08953 [math.AT ].
5. Фултон, Теорема 3.3. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFulton (помощь)

• Elencwajg, G .; Нарасимхан, М. С. (1983), "Проективные расслоения на комплексном торе", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1983 (340): 1–5, Дои:10.1515 / crll.1983.340.1, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  0691957, S2CID  122557310
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157