Проективное расслоение - Projective bundle

В математика, а проективный пучок это пучок волокон чьи волокна проективные пространства.

По определению схема Икс по нётеровой схеме S это пп-бандл, если он локально проективный п-Космос; т.е. и переходные автоморфизмы линейны. По обычной схеме S например, гладкий сорт, каждое проективное расслоение имеет вид для некоторого векторного расслоения (локально свободного пучка) E.[1]

Проективное расслоение векторного расслоения

Каждый векторный набор через разнообразие Икс дает проективное расслоение, взяв проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: существует препятствие в группа когомологий ЧАС2(Икс, О *).[требуется разъяснение ] В частности, если Икс компактная риманова поверхность, препятствие обращается в нуль, т.е. ЧАС2(Икс, О *) = 0.

Проективное расслоение векторного расслоения E то же самое, что и Расслоение Грассмана 1-самолетов в E.

Проективное расслоение п(E) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит:[2]

Учитывая морфизм ж: ТИкс, разложить на множители ж через карту проекции п: п(E) → Икс - указать подгруппу строк ж*E.

Например, взяв ж быть п, получается подгруппа строк О(-1) из п*E, называется пучок тавтологических линий на п(E). Более того, это О(-1) - это универсальный комплект в том смысле, что когда линейный пучок L дает факторизацию ж = пграмм, L это откат О(-1) вместе грамм. Смотрите также Конус #О(1) для более явного построения О(-1).

На п(E) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

куда Q называется тавтологическим фактор-расслоением.

Позволять EF - векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на Икс и грамм = F/E. Позволять q: п(F) → Икс быть проекцией. Тогда естественная карта О(-1) → q*Fq*грамм это глобальный раздел связка хом Hom (О(-1), q*G) = q* граммО(1). Более того, это естественное отображение исчезает в точке точно тогда, когда точка является линией в E; другими словами, геометрическое место нуля этого раздела п(E).

Особенно полезный пример этой конструкции - когда F прямая сумма E ⊕ 1 из E и тривиальное линейное расслоение (т. е. структурный пучок). потом п(E) является гиперплоскостью в п(E ⊕ 1), называемая гиперплоскостью на бесконечности, и дополнением к п(E) можно отождествить с E. Таким образом, п(E ⊕ 1) называется проективным завершением (или «компактификацией») E.

Проективное расслоение п(E) устойчив к скручиванию E линейной связкой; точно, учитывая линейный пучок L, существует естественный изоморфизм:

такой, что [3] (Фактически, получается грамм универсальным свойством, примененным к линейному пучку справа.)

Примеры

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над Такие как Расслоения Лефшеца. Например, эллиптический K3 поверхность является поверхностью K3 с расслоением

так что волокна за в общем случае являются эллиптическими кривыми. Поскольку каждая эллиптическая кривая является кривой рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Из-за этого глобального раздела существует модель дающий морфизм проективному расслоению[4]

определяется Уравнение Вейерштрасса

куда представляют локальные координаты соответственно, а коэффициенты

секции связки на . Обратите внимание, что это уравнение хорошо определено, потому что каждый член в уравнении Вейерштрауса имеет общую степень (означает степень коэффициента плюс степень монома. Например, ).

Кольцо когомологий и группа Чоу

Позволять Икс - комплексное гладкое проективное многообразие и E комплексное векторное расслоение ранга р в теме. Позволять п: п(E) → Икс - проективное расслоение E. Затем кольцо когомологий ЧАС*(п(E)) является алгебра над ЧАС*(Икс) через откат п*. Тогда первый Черн класс ζ = c1(О(1)) порождает H*(п(E)) с соотношением

куда cя(E) это я-й класс Черна E. Одна интересная особенность этого описания заключается в том, что можно определять Классы Черна как коэффициенты в отношении; это подход, принятый Гротендиком.

Для полей, отличных от сложного поля, то же описание остается верным с Кольцо для чау-чау вместо кольца когомологий (все еще предполагая Икс гладкая). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму

Как оказалось, это разложение остается в силе, даже если Икс не является гладким или проективным.[5] В отличие, Аk(E) = Аk-р(Икс) через Гомоморфизм Гизина, морально потому, что волокна E, векторные пространства стягиваемы.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Hartshorne, Гл. II, упражнение 7.10. (с).
  2. ^ Hartshorne, Гл. II, предложение 7.12.
  3. ^ Hartshorne, Гл. II, лемма 7.9.
  4. ^ Пропп, Орон Ю. (22.05.2019). «Построение явных К3-спектров». arXiv:1810.08953 [math.AT ].
  5. ^ Фултон, Теорема 3.3.