Простая дзета-функция - Prime zeta function

В математика, то простая дзета-функция является аналогом Дзета-функция Римана, изученный Глейшер (1891). Это определяется как следующее бесконечная серия, которая сходится при ${\displaystyle \Re (s)>1}$:

${\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots .}$

Характеристики

В Произведение Эйлера для дзета-функции Римана ζ(s) следует, что

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}}$

который по Инверсия Мёбиуса дает

${\displaystyle P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}}$

Когда s идет к 1, у нас есть ${\displaystyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}$.Это используется в определении Плотность Дирихле.

Это дает продолжение п(s) к ${\displaystyle \Re (s)>0}$, с бесконечным числом логарифмических особенностей в точках s куда нс это полюс (только нс = 1, когда п является бесквадратным числом, большим или равным 1), или нулем дзета-функции Римана ζ(.). Линия ${\displaystyle \Re (s)=0}$ является естественной границей, так как особенности кластера вблизи всех точек этой прямой.

Если определить последовательность

${\displaystyle a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}}$

тогда

${\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

(Возведение в степень показывает, что это эквивалентно лемме 2.7 Ли.)

Простая дзета-функция связана с Постоянная Артина к

${\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}}$

куда L_п это пth Число Лукаса.^[1]

Конкретные значения:

s	приблизительное значение P (s)	OEIS
1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots \to \infty .}$[2]
2	${\displaystyle 0{.}45224{\text{ }}74200{\text{ }}41065{\text{ }}49850\ldots }$	OEIS: A085548
3	${\displaystyle 0{.}17476{\text{ }}26392{\text{ }}99443{\text{ }}53642\ldots }$	OEIS: A085541
4	${\displaystyle 0{.}07699{\text{ }}31397{\text{ }}64246{\text{ }}84494\ldots }$	OEIS: A085964
5	${\displaystyle 0{.}03575{\text{ }}50174{\text{ }}83924{\text{ }}25713\ldots }$	OEIS: A085965
9	${\displaystyle 0{.}00200{\text{ }}44675{\text{ }}74962{\text{ }}45066\ldots }$	OEIS: A085969

Анализ

интеграл

Интеграл по простой дзета-функции обычно привязан к бесконечности, потому что полюс на ${\displaystyle s=1}$ запрещает определение хорошей нижней границы для некоторого конечного целого числа без обсуждения сечений ветвей в комплексной плоскости:

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}$

Примечательные значения снова те, где суммы сходятся медленно:

s	приблизительное значение ${\displaystyle \sum _{p}1/(p^{s}\log p)}$	OEIS
1	${\displaystyle 1.63661632\ldots }$	OEIS: A137245
2	${\displaystyle 0.50778218\ldots }$	OEIS: A221711
3	${\displaystyle 0.22120334\ldots }$
4	${\displaystyle 0.10266547\ldots }$

Производная

Первая производная

${\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}$

Интересны значения, в которых суммы сходятся медленно:

s	приблизительное значение ${\displaystyle P'(s)}$	OEIS
2	${\displaystyle -0.493091109\ldots }$	OEIS: A136271
3	${\displaystyle -0.150757555\ldots }$	OEIS: A303493
4	${\displaystyle -0.060607633\ldots }$	OEIS: A303494
5	${\displaystyle -0.026838601\ldots }$	OEIS: A303495

Обобщения

Почти простые дзета-функции

Поскольку дзета-функция Римана представляет собой сумму обратных степеней над целыми числами, а дзета-функция простого числа представляет собой сумму обратных степеней простых чисел, k-простые числа (целые числа, которые являются произведением ${\displaystyle k}$ необязательно различные простые числа) определяют своего рода промежуточные суммы:

${\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}}$

куда ${\displaystyle \Omega }$ общее количество главные факторы.

k	s	приблизительное значение ${\displaystyle P_{k}(s)}$	OEIS
2	2	${\displaystyle 0.14076043434\ldots }$	OEIS: A117543
2	3	${\displaystyle 0.02380603347\ldots }$
3	2	${\displaystyle 0.03851619298\ldots }$	OEIS: A131653
3	3	${\displaystyle 0.00304936208\ldots }$

Каждое целое число в знаменателе дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta }$можно классифицировать по значению индекса ${\displaystyle k}$, который разлагает дзета-функцию Римана в бесконечную сумму ${\displaystyle P_{k}}$:

${\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)}$

Поскольку мы знаем, что Серия Дирихле (в некотором формальном параметре ты) удовлетворяет

${\displaystyle P_{\Omega }(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-up^{-s}\right)^{-1},}$

мы можем использовать формулы для симметричные полиномиальные варианты с производящей функцией правостороннего типа. А именно, мы имеем коэффициентное тождество, что ${\displaystyle P_{k}(s)=[u^{k}]P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$ когда последовательности соответствуют ${\displaystyle x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)}$ куда ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ обозначает характеристическую функцию простые числа. С помощью Личности Ньютона, мы имеем общую формулу для этих сумм:

${\displaystyle P_{n}(s)=\sum _{{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n} \atop {k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}}\left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {P(is)^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}}\right]=-[z^{n}]\log \left(1-\sum _{j\geq 1}{\frac {P(js)z^{j}}{j}}\right).}$

Особые случаи включают следующие явные расширения:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}(s)&={\frac {1}{2}}\left(P(s)^{2}+P(2s)\right)\\P_{3}(s)&={\frac {1}{6}}\left(P(s)^{3}+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right)\\P_{4}(s)&={\frac {1}{24}}\left(P(s)^{4}+6P(s)^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{aligned}}}$

Простой по модулю дзета-функции

Построение суммы не по всем простым числам, а только по простым числам, которые находятся в одном классе по модулю, вводит дополнительные типы бесконечных рядов, которые являются редукцией L-функция Дирихле.

Смотрите также

• Расхождение суммы обратных простых чисел

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Артина». MathWorld.
2. Видеть расхождение суммы обратных простых чисел.

• Меррифилд, К. У. (1881). «Суммы серии обратных простых чисел и их степеней». Труды Королевского общества. 33: 4–10. Дои:10.1098 / rspl.1881.0063. JSTOR  113877.
• Фрёберг, Карл-Эрик (1968). «О простой дзета-функции». Nordisk Tidskr. Информационная обработка (BIT). 8 (3): 187–202. Дои:10.1007 / BF01933420. МИСТЕР  0236123.
• Глейшер, Дж. У. Л. (1891). «О суммах обратных степеней простых чисел». Кварта. J. Math. 25: 347–362.
• Матар, Ричард Дж. (2008). «Двадцать цифр некоторых интегралов простой дзета-функции». arXiv:0811.4739.
• Ли, Цзи (2008). «Графы простых чисел и экспоненциальный состав видов». J. Comb. Теория А. 115: 1374–1401. arXiv:0705.0038. Дои:10.1016 / j.jcta.2008.02.008. МИСТЕР  2455584.
• Матар, Ричард Дж. (2010). "Таблица L-рядов Дирихле и простые дзета-функции по модулю малых модулей". arXiv:1008.2547.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Основная дзета-функция". MathWorld.