Модель цен - Prices model

Модель цены (назван в честь физика Дерек Дж. Де Солла Прайс ) представляет собой математическую модель роста сети цитирования ^[1]^[2]. Это была первая модель, обобщающая Модель Саймона^[3] для использования в сетях, особенно в растущих сетях. Модель Прайса относится к более широкому классу моделей роста сети (вместе с Модель Барабаши – Альберта ), основная цель которого - объяснить возникновение сетей с сильно искаженным распределением степеней. Модель подобрала идеи Модель Саймона отражая концепцию богатые становятся богаче, также известный как Эффект Мэтью. Цена взял пример сети ссылок между научными статьями и выразил ее свойства. Его идея заключалась в том, что способ, которым старая вершина (существующая статья) получает новые ребра (новые ссылки), должен быть пропорционален количеству существующих ребер (существующих ссылок), которые уже есть у вершины. Это называлось совокупное преимущество, теперь также известный как преференциальная привязанность. Работа Прайса также важна в предоставлении первого известного примера безмасштабная сеть (хотя этот термин был введен позже). Его идеи были использованы для описания многих реальных сетей, таких как Интернет.

Модель

Основы

Рассмотрим ориентированный граф с п узлы. Позволять ${ displaystyle p_ {k}}$ обозначим долю узлов со степенью k так что ${ displaystyle sum _ {k} {p_ {k}} = 1}$ . У каждого нового узла есть заданная исходная степень (а именно те статьи, которые он цитирует), и она фиксируется в долгосрочной перспективе. Это не означает, что исходящие степени не могут различаться по узлам, просто мы предполагаем, что средняя исходящая степень м фиксируется со временем. Ясно, что ${ displaystyle sum _ {k} {kp_ {k}} = m}$ , как следствие м не ограничивается целыми числами. Самая тривиальная форма предпочтительного присоединения означает, что новый узел подключается к существующему узлу пропорционально его внутренним градусам. Другими словами, новая статья цитирует существующую статью пропорционально ее in-градусам. Предостережение такой идеи заключается в том, что никакая новая статья не цитируется, когда она присоединяется к сети, поэтому у нее будет нулевая вероятность цитирования в будущем (что обязательно не так). Чтобы преодолеть это, Цена предложил, чтобы приложение было пропорционально некоторым ${ displaystyle k + k_ {0}}$ с ${ displaystyle k_ {0}}$ постоянный. В целом ${ displaystyle k_ {0}}$ может быть произвольным, но Прайс предлагает ${ displaystyle k_ {0} = 1}$ , таким образом, первоначальное цитирование связано с самой статьей (так что коэффициент пропорциональности теперь k +1 вместо k). Вероятность подключения нового ребра к любому узлу со степенью k является

{ displaystyle { frac {(k + 1) p_ {k}} { sum _ {k} (k + 1) p_ {k}}} = { frac {(k + 1) p_ {k}} {м + 1}}}

Эволюция сети

Следующий вопрос - чистое изменение количества узлов со степенью k когда мы добавляем новые узлы в сеть. Естественно, это число уменьшается, так как некоторые kузлы-степени имеют новые ребра, следовательно, становятся (k + 1) -градусные узлы; но с другой стороны, это число также увеличивается, поскольку некоторые (k - 1) узлы -степени могут получить новые ребра, становясь k градусные узлы. Чтобы выразить это чистое изменение формально, обозначим долю k-градусов в сети п вершины с ${ displaystyle p_ {k, n}}$ :

{ displaystyle (n + 1) p_ {k, n + 1} -np_ {k, n} = [kp_ {k-1, n} - (k + 1) p_ {k, n}] { frac { m} {m + 1}} { text {for}} k geq 1,}

и

{ displaystyle (n + 1) p_ {0, n + 1} -np_ {0, n} = 1-p_ {0, n} { frac {m} {m + 1}} { text {for} } k = 0.}

Чтобы получить стационарное решение для ${ displaystyle p_ {k, n + 1} = p_ {k, n} = p_ {k}}$ , сначала позвольте нам выразить ${ displaystyle p_ {k}}$ используя известные главное уравнение метод, как

{ displaystyle p_ {k} = { begin {cases} [kp_ {k-1} - (k + 1) p_ {k}] { frac {m} {m + 1}} & { text {для }} k geq 1 1-p_ {0} { frac {m} {m + 1}} & { text {for}} k = 0 end {case}}}

После некоторых манипуляций вышеприведенное выражение принимает вид

{ displaystyle p_ {0} = { frac {m + 1} {2m + 1}}}

и

{ displaystyle p_ {k} = { frac {k!} {(k + 2 + 1 / m) cdots (3 + 1 / m)}} p_ {0} = (1 + 1 / m) mathbf {B} (k + 1,2 + 1 / м),}

с ${ Displaystyle mathbf {B} (а, б)}$ будучи Бета-функция. Как следствие, ${ displaystyle p_ {k} sim k ^ {- (2 + 1 / m)}}$ . Это то же самое, что сказать, что ${ displaystyle p_ {k}}$ следует за степенное распределение с показателем ${ Displaystyle альфа = 2 + 1 / м}$ . Обычно это ставит показатель степени между 2 и 3, что характерно для многих реальных сетей. Цена протестировал свою модель, сравнив с данными сети цитирования, и пришел к выводу, что полученный м возможно произвести достаточно хорошее степенное распределение.

Обобщение

Несложно обобщить полученные результаты на случай, когда ${ displaystyle k_ {0} neq 1}$ . Основные расчеты показывают, что

{ displaystyle p_ {k} = { frac {m + k_ {0}} {m (k_ {0} +1) + k_ {0}}} { frac { mathbf {B} (k + k_ { 0}, 2 + k_ {0} / m)} { mathbf {B} (k_ {0}, 2 + k_ {0} / m)}},}

что снова дает степенное распределение ${ displaystyle p_ {k}}$ с тем же показателем ${ Displaystyle альфа = 2 + к_ {0} / м}$ для больших k и исправлено ${ displaystyle k_ {0}}$ .

Характеристики

Ключевое отличие от более поздних Модель Барабаши – Альберта состоит в том, что модель Прайса создает граф с направленными ребрами, а Модель Барабаши – Альберта та же модель, но с ненаправленными краями. Направление является центральным для сеть цитирования приложение, которое мотивировало Price. Это означает, что ценовая модель дает ориентированный ациклический граф и у этих сетей есть отличительные свойства.

Например, в ориентированный ациклический граф обе самые длинные пути и кратчайшие пути хорошо определены. В модели Price длина самого длинного пути от n-го узла, добавленного в сеть, до первого узла в сети, масштабируется как^[4] ${ Displaystyle ln (п)}$

Примечания

Для дальнейшего обсуждения см.^[5]^[6] и.^[7]^[8] Цена смог получить эти результаты, но это было то, как далеко он мог продвинуться с ними без предоставления вычислительных ресурсов. К счастью, большая часть работы, посвященной предпочтительному подключению и росту сети, стала возможной благодаря недавнему технологическому прогрессу.

Источники

Ньюман, М. Э. Дж. (2003). «Структура и функции сложных сетей». SIAM Обзор. 45 (2): 167–256. arXiv:cond-mat / 0303516. Bibcode:2003SIAMR..45..167N. Дои:10.1137 / s003614450342480. ISSN 0036-1445. S2CID 221278130.

[price-1] де Солла Прайс, Д. Дж. (1965-07-30). «Сети научных статей». Наука. Американская ассоциация развития науки (AAAS). 149 (3683): 510–515. Bibcode:1965Научный ... 149..510D. Дои:10.1126 / science.149.3683.510. ISSN 0036-8075. PMID 14325149.

[2] де Солла Прайс, Дерек Дж. (1976), "Общая теория библиометрических и других процессов накопления преимуществ", J.Amer.Soc.Inform.Sci., 27 (5): 292–306, Дои:10.1002 / asi.4630270505

[simon-3] Саймон, Герберт А. (1955). «Об одном классе функций косого распределения». Биометрика. Издательство Оксфордского университета (ОУП). 42 (3–4): 425–440. Дои:10.1093 / biomet / 42.3-4.425. ISSN 0006-3444.

[ECV-4] Evans, T.S .; Calmon, L .; Василяускайте, В. (2020), «Самый длинный путь в ценовой модели», Научные отчеты, 10 (1): 10503, arXiv:1903.03667, Bibcode:2020НатСР..1010503Е, Дои:10.1038 / s41598-020-67421-8, ЧВК 7324613, PMID 32601403

[drog-5] Дороговцев, С. Н .; Mendes, J. F. F .; Самухин, А. Н. (2000-11-20). «Структура растущих сетей с преимущественным связыванием». Письма с физическими проверками. 85 (21): 4633–4636. arXiv:cond-mat / 0004434. Bibcode:2000ПхРвЛ..85.4633Д. Дои:10.1103 / Physrevlett.85.4633. ISSN 0031-9007. PMID 11082614.

[krap-6] Крапивский, П.Л .; Реднер, С. (24 мая 2001 г.). «Организация растущих случайных сетей». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 63 (6): 066123. arXiv:cond-mat / 0011094. Bibcode:2001PhRvE..63f6123K. Дои:10.1103 / Physreve.63.066123. ISSN 1063-651X. PMID 11415189. S2CID 16077521.

[drog2-7] Дороговцев, С. Н .; Мендес, Дж. Ф. Ф. (2002). «Эволюция сетей». Успехи в физике. 51 (4): 1079–1187. arXiv:cond-mat / 0106144. Bibcode:2002AdPhy..51.1079D. Дои:10.1080/00018730110112519. ISSN 0001-8732. S2CID 429546.

[mendes-8] Крапивский П.Л., Реднер С. Подход уравнения скорости для растущих сетей, в Р. Пастор-Саторрас и Дж. Руби (ред.), Труды XVIII Ситжесской конференции по статистической механике, конспекты лекций по физике, Springer, Берлин (2003).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]