Задача заданной скалярной кривизны - Prescribed scalar curvature problem

В Риманова геометрия, филиал математика, то заданная скалярная задача кривизны выглядит следующим образом: учитывая закрыто, гладкое многообразие M и гладкая функция с действительными значениями ƒ на M, построить Риманова метрика на M чей скалярная кривизна равно ƒ. В первую очередь благодаря работе Дж. Каздан и Ф. Уорнер в 1970-х, эта проблема хорошо изучена.

Решение в высших измерениях

Если размер M три или больше, то любая гладкая функция ƒ где-то принимает отрицательное значение - скалярная кривизна некоторой римановой метрики. Предположение, что ƒ быть где-то отрицательным, вообще говоря, необходимо, поскольку не все многообразия допускают метрики, которые имеют строго положительную скалярную кривизну. (Например, трехмерный тор является таким многообразием.) Однако Каздан и Уорнер доказали, что если M допускает некоторую метрику со строго положительной скалярной кривизной, то любая гладкая функция ƒ - скалярная кривизна некоторой римановой метрики.

Смотрите также

Рекомендации

  • Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии. Монографии Спрингера по математике, 1998.
  • Каздан Дж. И Уорнер Ф. Скалярная кривизна и конформная деформация римановой структуры. Журнал дифференциальной геометрии. 10 (1975). 113–134.