Симметричный полином по степенной сумме - Power sum symmetric polynomial

В математика особенно в коммутативная алгебра, то степенная сумма симметричных многочленов являются одним из основных строительных блоков для симметричные многочлены, в том смысле, что любой симметричный многочлен с рациональными коэффициентами может быть выражен как сумма и разность произведений степенных сумм симметричных многочленов с рациональными коэффициентами. Однако не каждый симметричный полином с целыми коэффициентами порождается целыми комбинациями произведений полиномов с суммой степеней: они представляют собой порождающую совокупность над рациональные но не за целые числа.

Определение

Симметричный полином степенной суммы степени k в ${displaystyle n}$ переменные Икс₁, ..., Икс_п, написано п_k за k = 0, 1, 2, ..., - сумма всех kth полномочия переменных. Формально,

${displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k},.}$

Первые несколько из этих многочленов

${displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=n,}$

${displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n},,}$

${displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2},,}$

${displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+cdots +x_{n}^{3},.}$

Таким образом, для каждого неотрицательного целого числа ${displaystyle k}$, существует ровно один симметрический многочлен степенной суммы степени ${displaystyle k}$ в ${displaystyle n}$ переменные.

В кольцо многочленов образованный взятием всех целочисленных линейных комбинаций произведений симметричных многочленов степенной суммы, является коммутативное кольцо.

Примеры

Ниже перечислены ${displaystyle n}$ степенная сумма симметрических многочленов положительных степеней до п для первых трех положительных значений ${displaystyle n.}$ В любом случае, ${displaystyle p_{0}=n}$ является одним из полиномов. Список увеличивается до степени п поскольку степенная сумма симметричных многочленов степеней от 1 до п являются основными в смысле изложенной ниже основной теоремы.

За п = 1:

${displaystyle p_{1}=x_{1},.}$

За п = 2:

${displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2},,}$

${displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2},.}$

За п = 3:

${displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3},,}$

${displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2},,}$

${displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3},,}$

Характеристики

Множество симметричных многочленов степеней 1, 2, ..., п в п переменные генерирует то звенеть из симметричные многочлены в п переменные. Более конкретно:

Теорема. Кольцо симметричных многочленов с рациональными коэффициентами равно кольцу рациональных многочленов ${displaystyle mathbb {Q} [p_{1},ldots ,p_{n}].}$ То же верно, если коэффициенты взяты в любом поле характеристика которого равна 0.

Однако это неверно, если коэффициенты должны быть целыми числами. Например, для п = 2 симметричный многочлен

${displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}$

имеет выражение

${displaystyle P(x_{1},x_{2})={frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}},,}$

в котором участвуют дроби. Согласно теореме это единственный способ представить ${displaystyle P(x_{1},x_{2})}$ с точки зрения п₁ и п₂. Следовательно, п не принадлежит целочисленному кольцу многочленов ${displaystyle mathbb {Z} [p_{1},ldots ,p_{n}].}$В качестве другого примера элементарные симметричные полиномы е_k, выраженные в виде полиномов от полиномов степенной суммы, не все имеют целые коэффициенты. Например,

${displaystyle e_{2}:=sum _{1leq i<jleq n}x_{i}x_{j}={frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}},.}$

Теорема также неверна, если поле имеет характеристику, отличную от 0. Например, если поле F имеет характеристику 2, то ${displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}}$, так п₁ и п₂ не может генерировать е₂ = Икс₁Икс₂.

Набросок частичного доказательства теоремы: К Личности Ньютона степенные суммы являются функциями элементарных симметричных многочленов; это подразумевается следующим отношение повторения, хотя явная функция, дающая степенные суммы в терминах е_j это сложно:

${displaystyle p_{n}=sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{j}p_{n-j},.}$

Переписывая ту же самую рекурсию, мы получаем элементарные симметричные многочлены в терминах степенных сумм (также неявно, явная формула усложняется):

${displaystyle e_{n}={frac {1}{n}}sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{n-j}p_{j},.}$

Отсюда следует, что элементарные многочлены являются рациональными, но не целыми, линейными комбинациями полиномов степенной суммы степеней 1, ..., п. Поскольку элементарные симметричные многочлены являются алгебраическим базисом для всех симметричных многочленов с коэффициентами в поле, отсюда следует, что каждый симметричный многочлен из п переменные - полиномиальная функция ${displaystyle f(p_{1},ldots ,p_{n})}$ симметрических многочленов степенной суммы п₁, ..., п_п. То есть кольцо симметричных многочленов содержится в кольце, порожденном степенными суммами, ${displaystyle mathbb {Q} [p_{1},ldots ,p_{n}].}$ Поскольку каждый полином суммы степеней симметричен, два кольца равны.

(Это не показывает, как доказать многочлен ж уникален.)

По поводу другой системы симметричных многочленов с аналогичными свойствами см. полные однородные симметрические многочлены.

Рекомендации

• Макдональд, И. (1979), Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Clarendon Press.
• Макдональд, И. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла, второе изд. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0-19-850450-0 (мягкая обложка, 1998).
• Ричард П. Стэнли (1999), Перечислительная комбинаторика, Vol. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-56069-1

Смотрите также

• Теория представлений
• Личности Ньютона