Доля населения - Population proportion

В статистика, а доля населения, обычно обозначаемый ${\displaystyle P}$ или Греческая буква ${\displaystyle \pi }$,^[1][2] это параметр который описывает процентное значение, связанное с численность населения. Например, Перепись населения США 2010 года показали, что 83,7% населения Америки не были латиноамериканцами или латиноамериканцами; значение 0,837 - это доля населения. В целом, доля населения и другие параметры популяции неизвестны. А перепись могут быть проведены для определения фактического значения параметра численности населения, но часто перепись нецелесообразна из-за ее затрат и затрат времени.

Доля населения обычно оценивается через беспристрастный статистика выборки полученный от наблюдательное исследование или же эксперимент. Например, Национальная конференция по технологической грамотности провела национальный опрос 2000 взрослых, чтобы определить процент экономически неграмотных взрослых. Исследование показало, что 72% из 2000 опрошенных взрослых не понимали, что такое валовой внутренний продукт является.^[3] Значение 72% - это примерная пропорция. Доля образца обычно обозначается ${\displaystyle {\hat {p}}}$ а в некоторых учебниках ${\displaystyle p}$.^[1][4][5]

Математическое определение

Иллюстрация диаграммы Венна набора ${\displaystyle R}$ и его подмножество ${\displaystyle S}$. Долю можно рассчитать, измерив, сколько ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle R}$.

А пропорция математически определяется как отношение значений в подмножестве ${\displaystyle S}$ к значениям в наборе ${\displaystyle R}$.

Таким образом, долю населения можно определить следующим образом:

${\displaystyle P={\frac {X}{N}}}$ (куда ${\displaystyle X}$ - количество успехов в популяции, и ${\displaystyle N}$ это размер населения)

Это математическое определение можно обобщить, чтобы дать определение пропорции образца:

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x}{n}}}$ (куда ${\displaystyle x}$ - количество успехов в выборке, а ${\displaystyle n}$ размер выборки, полученной из совокупности)^[6][4]

Оценка

Одно из основных направлений обучения в выведенный статистика определяет "истинное" значение параметра. Как правило, фактическое значение параметра никогда не будет найдено, если только не будет проведена перепись изучаемого населения. Однако существуют статистические методы, которые можно использовать для получения разумной оценки параметра. Эти методы включают доверительные интервалы и проверка гипотезы.

Оценка стоимости доли населения может иметь большое значение в областях сельское хозяйство, бизнес, экономика, образование, инженерное дело, экологические исследования, лекарство, закон, политическая наука, психология, и социология.

Доля населения может быть оценена с помощью доверительного интервала, известного как одна выборка в Z-интервале формула которого приведена ниже:

${\displaystyle {\hat {p}}\pm z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$ (куда ${\displaystyle {\hat {p}}}$ - доля образца, ${\displaystyle n}$ размер выборки, и ${\displaystyle z^{*}}$ это верхний ${\displaystyle {\frac {1-C}{2}}}$ критическое значение стандартное нормальное распределение для уровня уверенности ${\displaystyle C}$) ^[7]

Доказательство

Чтобы вывести формулу для одна выборка в Z-интервале, а выборочное распределение пропорций образца необходимо учитывать. Среднее значение выборочного распределения пропорций выборки обычно обозначается как ${\displaystyle \mu _{\hat {p}}=P}$ и его стандартное отклонение обозначается как ${\displaystyle \sigma _{\hat {p}}={\sqrt {\frac {P(1-P)}{n}}}}$.^[4] Поскольку значение ${\displaystyle P}$ неизвестно, объективная статистика ${\displaystyle {\hat {p}}}$ будет использоваться для ${\displaystyle P}$. Среднее значение и стандартное отклонение переписываются как ${\displaystyle \mu _{\hat {p}}={\hat {p}}}$ и ${\displaystyle \sigma _{\hat {p}}={\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$ соответственно. Обращение к Центральная предельная теорема, выборочное распределение пропорций пробы составляет приблизительно нормальный - при условии, что образец достаточно большой и не перекручен.

Предположим, вычисляется следующая вероятность: ${\displaystyle P(-z^{*}<{\frac {{\hat {p}}-P}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}<z^{*})=C}$, куда ${\displaystyle 0<C<1}$ и ${\displaystyle \pm z^{*}}$ - стандартные критические значения.

Распределение выборки пропорций выборки приблизительно нормально, когда оно удовлетворяет требованиям Центральной предельной теоремы.

В неравенство ${\displaystyle -z^{*}<{\frac {{\hat {p}}-P}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}<z^{*}}$ можно алгебраически переписать следующим образом:

${\displaystyle -z^{*}<{\frac {{\hat {p}}-P}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}<z^{*}\Rightarrow -z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}<{\hat {p}}-P<z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\Rightarrow -{\hat {p}}-z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}<-P<-{\hat {p}}+z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\Rightarrow {\hat {p}}-z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}<P<{\hat {p}}+z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$Из алгебраической работы, проделанной выше, очевидно с уровня определенности ${\displaystyle C}$ который${\displaystyle P}$ может оказаться между значениями ${\displaystyle {\hat {p}}\pm z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}}$.

Условия для вывода

Как правило, формула, используемая для оценки доли населения, требует замены известных числовых значений. Однако эти числовые значения нельзя подставлять в формулу «вслепую», потому что статистические выводы требует, чтобы оценка неизвестного параметра была обоснованной. Чтобы оценка параметра была обоснованной, необходимо проверить три условия:

1. Данные индивидуального наблюдения должны быть получены из простая случайная выборка интересующего населения.
2. Отдельные наблюдения данных должны отображать нормальность. Это можно проверить математически с помощью следующего определения:
   • Позволять ${\displaystyle n}$ быть размером выборки данной случайной выборки и пусть ${\displaystyle {\hat {p}}}$ быть его пропорцией образца. Если ${\displaystyle n{\hat {p}}\geq 10}$ и ${\displaystyle n(1-{\hat {p}})\geq 10}$, то отдельные наблюдения данных отображают нормальность.
3. Отдельные наблюдения данных должны быть независимый друг друга. Это можно проверить математически с помощью следующего определения:
   • Позволять ${\displaystyle N}$ быть размером исследуемой популяции и пусть ${\displaystyle n}$ быть размером выборки простой случайной выборки населения. Если ${\displaystyle N\geq 10n}$, то отдельные наблюдения данных не зависят друг от друга.

Условия для SRS, нормальности и независимости иногда называют условия для набора инструментов вывода в большинстве статистических учебников.

Пример

Допустим, в условиях демократии проходят президентские выборы. Случайная выборка из 400 имеющих право голоса избирателей из числа избирателей демократического государства показывает, что 272 избирателя поддерживают кандидата B. Политолог хочет определить, какой процент избирателей поддерживает кандидата B.

Чтобы ответить на вопрос политолога, можно построить одновыборочную пропорцию в Z-интервале с уровнем достоверности 95%, чтобы определить долю населения, имеющую право голоса в этой демократии, которая поддерживает кандидата B.

Решение

Из случайной выборки известно, что ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {272}{400}}=0.68}$ с размером выборки ${\displaystyle n=400}$. Перед построением доверительного интервала будут проверены условия вывода.

• Поскольку случайная выборка из 400 избирателей была получена из голосующего населения, условие для простой случайной выборки было выполнено.
• Позволять ${\displaystyle n=400}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}=0.68}$, будет проверяться, ${\displaystyle n{\hat {p}}\geq 10}$ и ${\displaystyle n(1-{\hat {p}})\geq 10}$

${\displaystyle (400)(0.68)\geq 10\Rightarrow 272\geq 10}$ и ${\displaystyle (400)(1-0.68)\geq 10\Rightarrow 128\geq 10}$

Условие нормальности выполнено.

• Позволять ${\displaystyle N}$ будет численностью избирателей в этой демократии, и пусть ${\displaystyle n=400}$. Если ${\displaystyle N\geq 10n}$, тогда есть независимость.

${\displaystyle N\geq 10(400)\Rightarrow N\geq 4000}$

Численность населения ${\displaystyle N}$ для этой демократии можно предположить, что избирателей не менее 4000. Следовательно, условие независимости было выполнено.

Когда условия вывода проверены, можно построить доверительный интервал.

Позволять ${\displaystyle {\hat {p}}=0.68,n=400,}$ и ${\displaystyle C=0.95}$

Решить для ${\displaystyle z^{*}}$, то выражение ${\displaystyle {\frac {1-C}{2}}}$ используется.

${\displaystyle {\frac {1-C}{2}}={\frac {1-0.95}{2}}={\frac {0.05}{2}}=0.0250}$

Стандартная нормальная кривая с ${\displaystyle z^{*}}$ что дает площадь верхнего хвоста 0,0250 и площадь 0,9750 для ${\displaystyle Z\leq z^{*}}$.

Таблица со стандартными нормальными вероятностями для ${\displaystyle Z\leq z}$.

Изучая стандартную нормальную колоколообразную кривую, значение для ${\displaystyle z^{*}}$ может быть определен путем определения того, какой стандартный балл дает стандартной нормальной кривой площадь верхнего хвоста 0,0250 или площадь 1-0,0250 = 0,9750. Значение для ${\displaystyle z^{*}}$ также можно найти с помощью таблицы стандартных нормальных вероятностей.

Из таблицы стандартных нормальных вероятностей значение ${\displaystyle Z}$ что дает площадь 0,9750 составляет 1,96. Следовательно, значение для ${\displaystyle z^{*}}$ составляет 1,96.

Значения для ${\displaystyle {\hat {p}}=0.68}$, ${\displaystyle n=400}$, ${\displaystyle z^{*}=1.96}$ теперь можно подставить в формулу для одной пробы в интервале Z:

${\displaystyle {\hat {p}}\pm z^{*}{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}}\Rightarrow (0.68)\pm (1.96){\sqrt {\frac {(0.68)(1-0.68)}{(400)}}}\Rightarrow 0.68\pm 1.96{\sqrt {0.000544}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow {\bigl (}0.63429,0.72571{\bigr )}}$

Исходя из условий вывода и формулы для доли одной выборки в интервале Z, с уровнем достоверности 95% можно сделать вывод, что процент населения избирателей в этой демократии, поддерживающих кандидата B, составляет от 63,429% до 72,571. %.

Значение параметра в диапазоне доверительного интервала

Часто задаваемый вопрос в выводной статистике - входит ли параметр в доверительный интервал. Единственный способ ответить на этот вопрос - провести перепись. Ссылаясь на приведенный выше пример, вероятность того, что доля населения находится в диапазоне доверительного интервала, равна либо 1, либо 0. То есть, параметр включен в диапазон интервала или нет. Основная цель доверительного интервала - лучше проиллюстрировать, каким может быть идеальное значение параметра.

Распространенные ошибки и неверные интерпретации оценок

Очень распространенная ошибка, возникающая при построении доверительного интервала, - это вера в то, что уровень достоверности, такой как ${\displaystyle C=95\%}$, означает 95% шанс. Это неверно. Уровень уверенности основан на степени достоверности, а не вероятности. Следовательно, значения ${\displaystyle C}$ находятся исключительно между 0 и 1.

Смотрите также

• Доверительный интервал биномиальной пропорции
• Доверительный интервал
• Распространенность
• Статистическая проверка гипотез
• Статистические выводы
• Статистический параметр
• Интервал допуска

Рекомендации

1. «Список вероятностных и статистических символов». Математическое хранилище. 2020-04-26. Получено 2020-08-22.
2. Введение в статистические исследования. Вайли. ISBN  978-1-118-95667-0.
3. Отт, Р. Лайман. Введение в статистические методы и анализ данных. ISBN  0-534-93150-2.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Пропорция образца». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-22.
5. «6.3: Образец пропорции». Статистика LibreTexts. 2014-04-16. Получено 2020-08-22.
6. Вайсштейн, Эрик. CRC Краткая энциклопедия математики. Чепмен и Холл / CRC.
7. Мешает, Дуэйн. Аннотированное издание для учителя Практика статистики. ISBN  0-7167-7703-7.