В физика, то теорема о маковых бубликах касается взаимодействующих частиц (например, электроны ) приурочен к ограниченному поверхность (или тело)
когда частицы попарно отталкиваются друг от друга со значением, пропорциональным обратному расстоянию между ними, возведенному в некоторую положительную степень
. В частности, это включает Кулоновский закон наблюдается в Электростатика и Потенциалы Рисса широко изучен в Возможная теория. За
таких частиц, равновесное (устойчивое) состояние, которое зависит от параметра
, достигается, когда связанный энергия системы минимальна (так называемая обобщенная Проблема Томсона ). Для большого числа точек эти равновесные конфигурации обеспечивают дискретизацию
которые могут быть или не быть почти одинаковыми в отношении площадь поверхности (или же объем ) из
. В Теорема о маковых бубликах утверждает, что для большого класса множеств
, свойство однородности выполняется, когда параметр
больше или равен размеру набора
.[1] Например, когда точки («маки») приурочены к тор встроенные в трехмерное пространство (или «поверхность рогалика»), можно создать большое количество точек, которые почти равномерно распределены по поверхности, создавая отталкивание, пропорциональное обратному квадрату расстояния между точками, или любое более сильное отталкивание (
). С кулинарной точки зрения, чтобы создать почти идеальный бублик из маковых семян, где кусочки одинакового размера в любом месте бублика будут содержать по существу одинаковое количество семян мака, наложите на семена отталкивающую силу, равную как минимум обратному квадрату.
Формальные определения
Для параметра
и
набор точек
, то
-энергия
определяется следующим образом:
![{ displaystyle E_ {s} ( omega _ {N}): = sum _ {i = 1, ldots, N} sum _ { stackrel {j = 1, ldots, N} {j not = i}} { frac {1} {| x_ {i} -x_ {j} | ^ {s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62de080dab4f1d873e85064ff73e81529a7f9cf2)
Для
компактный набор ![А](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
мы определяем его
минимальный
-точка
-энергия в качестве
![{ displaystyle { mathcal {E}} _ {s} (A, N): = min E_ {s} ( omega _ {N}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45066ff0c57d5b61650b2e711ee7f0d63ebd8fa4)
где
минимум берется за все
![N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
-точечные подмножества
![А](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
; т.е.
![{ displaystyle omega _ {N} subset A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfb3675511748296737e33ef12387816b11b382)
. Конфигурации
![omega _ {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36765f75fa2938a7a7a4d92f6c91aea56f233fa5)
которые достигают этой нижней грани, называются
-точка
-равновесные конфигурации.
Теорема макового бублика для тел
Мы рассматриваем компактные множества
с Мера Лебега
и
. Для каждого
исправить
-точка
-равновесная конфигурация
. Набор
![{ displaystyle mu _ {N}: = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1, ldots, N} delta _ {x_ {i, N}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3315544f61ca763a63d7f6feae1a02a845415780)
куда
![delta _ {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d31468dba98fabc9542edf69cae6d3362a3ac3)
это
единичная масса в точке
![Икс](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
. При этих предположениях в смысле
слабая сходимость мер,
![{ displaystyle mu _ {N} { stackrel {*} { rightarrow}} mu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e2045e193331adab225e7626ce936b33587a09)
куда
![му](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
ограничена ли мера Лебега на
![А](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
; т.е.
![{ Displaystyle му (В) = лямбда (А крышка В) / лямбда (А)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7c9ee0967c16c431261c473c9d5fcd4ab4b450)
.Кроме того, верно, что
![{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} (A, N)} {N ^ {1 + s / p}}} = { frac {C_ {s, p}} { lambda (A) ^ {s / p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95facacbf7aa0fe8ca2650d2b322b9a80060e775)
где постоянная
![{ displaystyle C_ {s, p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d20c66a162e05ba893de5f0f74ac163036d6c0a)
не зависит от набора
![А](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
и поэтому,
![{ Displaystyle C_ {s, p} = lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} ([0,1] ^ {p}, N)} { N ^ {1 + s / p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775cd24198609d67492b82283882837ff77a140e)
куда
![{ displaystyle [0,1] ^ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bee00701e79b04e62171041f3e6484d9557869)
это
единичный куб в
![{ mathbb {R}} ^ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a670215fd4556c78acd92bdc55d472548b7a21)
.
Теорема макового бублика для многообразий
Рассмотрим гладкий
-мерное многообразие
встроенный в
и обозначим его измерение поверхности к
. Мы предполагаем
. Предполагать
Как и раньше, для каждого
исправить
-точка
-равновесная конфигурация
и установить
![{ displaystyle mu _ {N}: = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1, ldots, N} delta _ {x_ {i, N}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362ee61892b5f25359f79c4d8561e32021446ac1)
Потом,
[2][3] в смысле
слабая сходимость мер,
![{ displaystyle mu _ {N} { stackrel {*} { rightarrow}} mu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e2045e193331adab225e7626ce936b33587a09)
куда
![{ Displaystyle му (В) = сигма (А крышка В) / сигма (А)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52bd1576a3ec7a6067bf9c9615ca8e66e0e5233)
. Если
![H ^ {d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8ccf84eed3bb7c73d7c6f50d2f137928c52300)
это
![d](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
-размерный
Мера Хаусдорфа, тогда
[2][4]![{ displaystyle lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} (A, N)} {N ^ {1 + s / d}}} = 2 ^ { s} alpha _ {d} ^ {- s / d} cdot { frac {C_ {s, d}} {(H ^ {d} (A)) ^ {s / d}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0580adc120e486168e77231dda109ff08673106)
куда
![{ Displaystyle альфа _ {d} = pi ^ {d / 2} / Gamma (1 + d / 2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953ab15e151ac68d7fee7f1fb3db70b0baa0d866)
это
объем d-ball.
Постоянная ![{ displaystyle C_ {s, p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d20c66a162e05ba893de5f0f74ac163036d6c0a)
За
, это известно[4] который
, куда
это Дзета-функция Римана. Следующая связь между константой
и проблема Упаковка сфер известен:[5]
![{ displaystyle lim _ {s to infty} (C_ {s, p}) ^ {1 / s} = { frac {1} {s}} left ({ frac { alpha _ {p }} { Delta _ {p}}} right) ^ {1 / p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7c428832b02de0694d95a2baf144850e93ed18)
куда
![alpha _ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c48aa9000af59f94d3022f58beadb61cea7d8b5)
это
объем p-ball и
![{ Displaystyle Delta _ {p} = sup rho ({ mathcal {P}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68e31e4041b1db33c55fb30b21300e057269da3)
где
супремум берется за все семьи
![{ mathcal {P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6)
неперекрывающихся
единичные шары так что предел
![{ displaystyle rho ({ mathcal {P}}) = lim _ {r to infty} { frac { lambda left ([- r, r] ^ {p} cap bigcup _ { B in { mathcal {P}}} B right)} {(2r) ^ {p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f060adcbea619d6f3caf231a41486f1d7d4e2c)
существуют.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194
- ^ а б Hardin, D. P .; Сафф, Э. Б. Точечные конфигурации с минимальной энергией Рисса для спрямляемых d-мерных многообразий. Adv. Математика. 193 (2005), нет. 1, 174–204.
- ^ Бородачев, С. В .; Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Асимптотика для дискретных взвешенных задач минимальной энергии Рисса на спрямляемых множествах. Пер. Амер. Математика. Soc. 360 (2008), нет. 3, 1559–1580.
- ^ а б Мартинес-Финкельштейн, А .; Маймескул, В .; Рахманов, Э. А .; Сафф, Э. Б. Асимптотика минимальной дискретной энергии Рисса на кривых в Rd. Может. J. Math. 56 (2004), нет. 3, 529–552
- ^ Бородачев, С. В .; Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Асимптотика наилучшей упаковки на спрямляемых множествах, Proc. Амер. Математика. Soc., Vol. 135 (2007), стр. 2369-2380.