В физика, то теорема о маковых бубликах касается взаимодействующих частиц (например, электроны ) приурочен к ограниченному поверхность (или тело)
когда частицы попарно отталкиваются друг от друга со значением, пропорциональным обратному расстоянию между ними, возведенному в некоторую положительную степень
. В частности, это включает Кулоновский закон наблюдается в Электростатика и Потенциалы Рисса широко изучен в Возможная теория. За
таких частиц, равновесное (устойчивое) состояние, которое зависит от параметра
, достигается, когда связанный энергия системы минимальна (так называемая обобщенная Проблема Томсона ). Для большого числа точек эти равновесные конфигурации обеспечивают дискретизацию
которые могут быть или не быть почти одинаковыми в отношении площадь поверхности (или же объем ) из
. В Теорема о маковых бубликах утверждает, что для большого класса множеств
, свойство однородности выполняется, когда параметр
больше или равен размеру набора
.[1] Например, когда точки («маки») приурочены к тор встроенные в трехмерное пространство (или «поверхность рогалика»), можно создать большое количество точек, которые почти равномерно распределены по поверхности, создавая отталкивание, пропорциональное обратному квадрату расстояния между точками, или любое более сильное отталкивание (
). С кулинарной точки зрения, чтобы создать почти идеальный бублик из маковых семян, где кусочки одинакового размера в любом месте бублика будут содержать по существу одинаковое количество семян мака, наложите на семена отталкивающую силу, равную как минимум обратному квадрату.
Формальные определения
Для параметра
и
набор точек
, то
-энергия
определяется следующим образом:

Для
компактный набор 
мы определяем его
минимальный
-точка
-энергия в качестве

где
минимум берется за все

-точечные подмножества

; т.е.

. Конфигурации

которые достигают этой нижней грани, называются
-точка
-равновесные конфигурации.
Теорема макового бублика для тел
Мы рассматриваем компактные множества
с Мера Лебега
и
. Для каждого
исправить
-точка
-равновесная конфигурация
. Набор

куда

это
единичная масса в точке

. При этих предположениях в смысле
слабая сходимость мер,

куда

ограничена ли мера Лебега на

; т.е.

.Кроме того, верно, что

где постоянная

не зависит от набора

и поэтому,
![{ Displaystyle C_ {s, p} = lim _ {N to infty} { frac {{ mathcal {E}} _ {s} ([0,1] ^ {p}, N)} { N ^ {1 + s / p}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775cd24198609d67492b82283882837ff77a140e)
куда
![{ displaystyle [0,1] ^ {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bee00701e79b04e62171041f3e6484d9557869)
это
единичный куб в

.
Теорема макового бублика для многообразий
Рассмотрим гладкий
-мерное многообразие
встроенный в
и обозначим его измерение поверхности к
. Мы предполагаем
. Предполагать
Как и раньше, для каждого
исправить
-точка
-равновесная конфигурация
и установить

Потом,
[2][3] в смысле
слабая сходимость мер,

куда

. Если

это

-размерный
Мера Хаусдорфа, тогда
[2][4]
куда

это
объем d-ball.
Постоянная 
За
, это известно[4] который
, куда
это Дзета-функция Римана. Следующая связь между константой
и проблема Упаковка сфер известен:[5]

куда

это
объем p-ball и

где
супремум берется за все семьи

неперекрывающихся
единичные шары так что предел
![{ displaystyle rho ({ mathcal {P}}) = lim _ {r to infty} { frac { lambda left ([- r, r] ^ {p} cap bigcup _ { B in { mathcal {P}}} B right)} {(2r) ^ {p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f060adcbea619d6f3caf231a41486f1d7d4e2c)
существуют.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194
- ^ а б Hardin, D. P .; Сафф, Э. Б. Точечные конфигурации с минимальной энергией Рисса для спрямляемых d-мерных многообразий. Adv. Математика. 193 (2005), нет. 1, 174–204.
- ^ Бородачев, С. В .; Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Асимптотика для дискретных взвешенных задач минимальной энергии Рисса на спрямляемых множествах. Пер. Амер. Математика. Soc. 360 (2008), нет. 3, 1559–1580.
- ^ а б Мартинес-Финкельштейн, А .; Маймескул, В .; Рахманов, Э. А .; Сафф, Э. Б. Асимптотика минимальной дискретной энергии Рисса на кривых в Rd. Может. J. Math. 56 (2004), нет. 3, 529–552
- ^ Бородачев, С. В .; Хардин, Д. П .; Сафф, Э. Б. Асимптотика наилучшей упаковки на спрямляемых множествах, Proc. Амер. Математика. Soc., Vol. 135 (2007), стр. 2369-2380.