Полоидально-тороидальное разложение - Poloidal–toroidal decomposition

В векторное исчисление, тема в чистом и прикладном математика, а полоидально-тороидальное разложение это ограниченная форма Разложение Гельмгольца. Часто используется в сферические координаты анализ соленоидальные векторные поля, Например, магнитные поля и несжимаемые жидкости.^[1]

Определение

Дальнейшая информация: Векторный оператор

Для трехмерного векторное поле F с нуля расхождение

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0,}$

это F можно выразить как сумму тороидального поля Т и полоидальное векторное поле п

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {T} +\mathbf {P} }$

куда р - радиальный вектор в сферические координаты (р, θ, φ). Тороидальное поле получается из скалярное поле, Ψ(р, θ, φ),^[2] в дальнейшем завиток,

${\displaystyle \mathbf {T} =\nabla \times (\mathbf {r} \Psi (\mathbf {r} ))}$

а полоидальное поле получается из другого скалярного поля Φ (р, θ, φ),^[3] как дважды повторяемый локон,

${\displaystyle \mathbf {P} =\nabla \times (\nabla \times (\mathbf {r} \Phi (\mathbf {r} )))\,.}$

Этот разложение симметричен в том смысле, что ротор тороидального поля полоидален, а ротор полоидального поля тороидален, известный как Функция Чандрасекара – Кендалла.^[4]

Геометрия

Тороидальное векторное поле касается сфер вокруг начала координат,^[4]

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {T} =0}$

в то время как ротор полоидального поля касается этих сфер

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\nabla \times \mathbf {P} )=0.}$^[5]

Полоидально-тороидальное разложение единственно, если требуется, чтобы среднее значение скалярных полей Ψ и Φ обращалось в нуль на каждой сфере радиуса р.^[3]

Декартово разложение

Полоидально-тороидальное разложение также существует в Декартовы координаты, но в этом случае необходимо учитывать поток среднего поля. Например, любое соленоидальное векторное поле можно записать как

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=\nabla \times g(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }}+\nabla \times (\nabla \times h(x,y,z){\hat {\mathbf {z} }})+b_{x}(z){\hat {\mathbf {x} }}+b_{y}(z){\hat {\mathbf {y} }},}$

куда ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }},{\hat {\mathbf {z} }}}$ обозначают единичные векторы в координатных направлениях.^[6]

Смотрите также

• Тороидальный и полоидальный
• Функция Чандрасекара – Кендалла

Примечания

1. Субраманян Чандрасекар (1961). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость. Международная серия монографий по физике. Оксфорд: Кларендон. См. Обсуждение на странице 622.
2. Бэкус 1986, п. 87.
3. Бэкус 1986, п. 88.
4. Бэкус, Паркер и констебль 1996, п. 178.
5. Бэкус, Паркер и констебль 1996, п. 179.
6. Джонс 2008, п. 17. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFJones2008 (помощь)

Рекомендации

• Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость, Чандрасекар, Субраманян; Международная серия монографий по физике, Oxford: Clarendon, 1961, с. 622.
• Разложение соленоидальных полей на полоидальные поля, тороидальные поля и средний поток. Приложения к уравнениям Буссинеска, Schmitt, B.J. и von Wahl, W; в Уравнения Навье – Стокса II - Теория и численные методы, стр. 291–305; Конспект лекций по математике, Springer Berlin / Heidelberg, Vol. 1530/1992.
• Неупругие магнитогидродинамические уравнения для моделирования зон солнечной и звездной конвекции, Lantz, S.R. и Fan, Y .; Серия дополнений к астрофизическому журналу, том 121, выпуск 1, март 1999 г., стр. 247–264.
• Плоское полоидально-тороидальное разложение двоякопериодических векторных полей: Часть 1. Поля с расхождением. и Часть 2. Уравнения Стокса.. Г. Д. МакБейн. АНЗИАМ Дж. 47 (2005)
• Бэкус, Джордж (1986), "Полоидальные и тороидальные поля в моделировании геомагнитного поля", Обзоры геофизики, 24: 75–109, Bibcode:1986RvGeo..24 ... 75B, Дои:10.1029 / RG024i001p00075.
• Бэкус, Джордж; Паркер, Роберт; Констебль, Кэтрин (1996), Основы геомагнетизма, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-41006-1.
• Джонс, Крис, Теория Динамо (PDF).