Группа Пуассона – Ли - Poisson–Lie group

В математика, а Группа Пуассона – Ли это Пуассоново многообразие это тоже Группа Ли, причем групповое умножение совместимо с Алгебра Пуассона структура на коллекторе. Алгебра группы Пуассона – Ли - это Биалгебра Ли.

Определение

Группа Пуассона – Ли - это группа Ли грамм снабжена скобкой Пуассона, для которой групповое умножение ${\displaystyle \mu :G\times G\to G}$ с ${\displaystyle \mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}}$ это Карта Пуассона, где многообразие грамм×грамм дана структура производного пуассоновского многообразия.

Явно для группы Пуассона – Ли должно выполняться следующее тождество:

${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+\{f_{1}\circ R_{g^{\prime }},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)}$

куда ж₁ и ж₂ - вещественные гладкие функции на группе Ли, а г и грамм' являются элементами группы Ли. Здесь, L_г обозначает левое умножение и р_г обозначает правое умножение.

Если ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ обозначает соответствующий бивектор Пуассона на грамм, указанное выше условие может быть эквивалентно сформулировано как

${\displaystyle {\mathcal {P}}(gg')=L_{g\ast }({\mathcal {P}}(g'))+R_{g'\ast }({\mathcal {P}}(g))}$

Отметим, что для группы Пуассона-Ли всегда ${\displaystyle \{f,g\}(e)=0}$, или эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {P}}(e)=0}$. Это означает, что нетривиальная структура Пуассона-Ли никогда не бывает симплектической, даже постоянного ранга.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм групп Пуассона – Ли ${\displaystyle \phi :G\to H}$ определяется как гомоморфизм групп Ли и отображение Пуассона. Хотя это «очевидное» определение, ни левые, ни правые переводы не являются отображениями Пуассона. Кроме того, карта инверсии ${\displaystyle \iota :G\to G}$ принимая ${\displaystyle \iota (g)=g^{-1}}$ не является отображением Пуассона, хотя это отображение антипуассона:

${\displaystyle \{f_{1}\circ \iota ,f_{2}\circ \iota \}=-\{f_{1},f_{2}\}\circ \iota }$

для любых двух гладких функций ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ на грамм.

Смотрите также

• Биалгебра Ли
• Квантовая группа
• Аффинная квантовая группа
• Квантовые аффинные алгебры

Рекомендации

• Doebner, H.-D .; Хенниг, J.-D., ред. (1989). Квантовые группы. Материалы 8-го международного семинара по математической физике, Институт Арнольда Зоммерфельда, Клаусталь, ФРГ. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-53503-9.
• Чари, Виджаянти; Прессли, Эндрю (1994). Руководство по квантовым группам. Кембридж: Cambridge University Press Ltd. ISBN  0-521-55884-0.